状态方程简约为能控能观型

2024-04-08 11:41:47

状态方程简约为能控能观型

对于状态空间方程

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

状态方程简约为能控型

STEP1：求能控性矩阵的秩，记为n1

$n_{1}=rank([B\, AB\, \cdots \, A^{n-1}B])$

STEP2：构造变换矩阵 $P^{-1}$

$P^{-1}=[q_{1}\, \cdots \, q_{n1}\, \cdots \, q_{n}]$

注：其中前n1列为能控性矩阵中任意n1个线性无关列，只要保证P非奇异，则其余列可以任意选择。

STEP3：作等价变换

$\bar{A}=PAP^{-1}$

$\bar{B}=PB$

$\bar{C}=CP^{-1}$

$\bar{D}=D$

STEP4：选取 $\bar{A},\bar{B},\bar{C},\bar{D}$ 中的n1维子矩阵构成新的能控状态空间方程

状态方程简约为能观型

STEP1：求能观性矩阵的秩，记为n2

$n_{2}=rank(\begin{bmatrix} C\\ CA\\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix})$

STEP2：构造变换矩阵 $P$

$P=\begin{bmatrix} p_{1}\\ \vdots \\ p_{{n2}}\\ \vdots \\ p_{n} \end{bmatrix}$

注：其中前n2行为能观性矩阵中任意n2个线性无关行，只要保证P非奇异，则其余行可以任意选择。

STEP3：作等价变换

$\bar{A}=PAP^{-1}$

$\bar{B}=PB$

$\bar{C}=CP^{-1}$

$\bar{D}=D$

STEP4：选取 $\bar{A},\bar{B},\bar{C},\bar{D}$ 中的n2维子矩阵构成新的能观状态空间方程

状态方程简约为能控能观型

先做能控（能观）简约，再做能观（能控）简约即可。

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