Derivative of Logarithm and Exponential Function

背景

在了解自然常数e与对数的历史背景之后，对其相关的问题有了兴趣。本文的根源来自对指数函数求导的困难.

指数求导遇到的困难

(ax)′=limdx→0ax+dx−axdx=limdx→0ax(adx−1dx)

(a^x)' = \lim_{dx\to 0}\frac{a^{x+dx}-a^x}{dx} = \lim_{dx\to 0}a^x(\frac{a^{dx}-1}{dx})

对于limdx→0adx−1dx\lim_{dx\to 0}\frac{a^{dx}-1}{dx}
无法转化成e的形式，通过表达式的可见，这也是指数函数在x=0处的导数.

指数函数的直接求导不成功，从它的反函数对数入手，让对数函数的变量为指数函数，于是有了对复合函数的求导。
所以顺带推导复合函数求导公式

后经过查阅，发现有网友已经化解了这个表达式。见 化解x=0导数

在对对数函数求导之前，先明确几个对数规律。

规律1

logBA=lnAlnB

\log_BA = \frac{\ln A}{\ln B}

规律1证明

A=eaB=eb

A = e^a \quad B = e^b

A=BlogBA

A = B^{\log_BA}

ea=eblogBA

e^a = e^{b\log_BA}

a=blogBA

a = b\log_BA

logBA=ab=lnAlnB

\log_BA = \frac{a}{b} =\frac{\ln A}{\ln B}

规律2

logAB=1logBA

\log_AB = \frac{1}{\log_BA}

规律2证明

logBA=lnAlnB=1lnBlnA=1logAB

\log_BA = \frac{\ln A}{\ln B} = \frac{1}{\frac{\ln B}{\ln A}} = \frac{1}{\log_AB}

规律3(复合函数求导)

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)

(f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)

(f(g(x)))′(f(g(x)))'表示对复合函数求导，f′(g(x))f'(g(x))表示f在g(x)g(x)处的导数

规律3证明

(f(g(x)))′=limdx→0f(g(x+dx))−f(g(x))dx

(f(g(x)))' = \lim_{dx\to 0}\frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{dx}

=limdx→0f(g(x+dx))−f(g(x))dx⋅g(x+dx)−g(x)g(x+dx)−g(x)

=\lim_{dx\to 0}\frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{dx} \cdot \frac{g(x+dx)-g(x)}{g(x+dx)-g(x)}

=limdx→0f(g(x+dx))−f(g(x))g(x+dx)−g(x)⋅g(x+dx)−g(x)dx

=\lim_{dx\to 0}\frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{g(x+dx)-g(x)} \cdot \frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}

=f′(g(x))⋅g′(x)

=f'(g(x)) \cdot g'(x)

复合函数求导应用

(f(f−1(x)))′=f′(f−1(x))⋅f−1′(x)=(x)′=1

(f(f^{-1}(x)))'= f'(f^{-1}(x)) \cdot {f^{-1}}'(x) = (x)' = 1

f−1′(x)=1f′(f−1(x))

{f^{-1}}'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

对数函数求导

(lnx)′=limdx→0ln(x+dx)−ln(x)dx=limdx→0lnx+dxxdx

( \ln x )' =\lim_{dx\to 0} \frac{\ln (x+dx) - \ln (x)}{dx} =\lim_{dx\to 0} \frac{\ln \frac{x+dx}{x}}{dx}

=limdx→0ln(x+dxx)1dx

= \lim_{dx\to 0}\ln (\frac{x+dx}{x})^{\frac{1}{dx}}

=limdx→0ln(1+dxx)1dx

= \lim_{dx\to 0}\ln (1 + \frac{dx}{x})^{\frac{1}{dx}}

=limdx→0xxln(1+dxx)1dx

= \lim_{dx\to 0}\frac{x}{x} \ln (1 + \frac{dx}{x})^{\frac{1}{dx}}

=limdx→01xln(1+dxx)xdx

= \lim_{dx\to 0}\frac{1}{x} \ln (1 + \frac{dx}{x})^{\frac{x}{dx}}

令t=xdxt=\frac{x}{dx}则上述表达式写成:

1xlimt→∞ln(1+1t)t

\frac{1}{x} \lim_{t\to \infty} \ln (1 + \frac{1}{t})^{t}

=1xlne=1x

= \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x}

(logax)′=(lnxlna)′=1xlna

(\log_ax)' = (\frac{\ln x}{\ln a})' = \frac{1}{x \ln a}

指数函数求导

因为有了对数函数导数与复合函数求导规律，所以容易推导指数函数导数:

(ax)′=11axlna=axlna

(a^x)' = \frac{1}{\frac{1}{a^x \ln a}} =a^x \ln a

化解x=0导数

下面方法参考于网络：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_49fa93c101000doh.html

得到的启示是，对于趋于0或趋于无穷的表示式，是可以变换的，变换的运算过程可以得到很难直观发现的结果.

limt→0(at−1t)

\lim_{t\to 0}(\frac{a^t-1}{t})

令u=at−1u=a^t-1 则 t=loga(u+1)t = loga(u+1)

因为t趋于0，所以u趋于0.

上式可以写成：

limu→0uloga(u+1)=limu→011uloga(u+1)=limu→01loga(u+1)1u=1logae=lna

\lim_{u\to 0}\frac{u}{log_a(u+1)} = \lim_{u\to 0}\frac{1}{\frac{1}{u}log_a(u+1)} = \lim_{u\to 0}\frac{1}{log_a(u+1)^{\frac{1}{u}}} = \frac{1}{log_ae} = \ln a

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