角点 (corners) 的定义有两个版本：两条边缘的交点，或者，邻域内具有两个主方向的特征点

从人眼来看，角点是图像亮度发生剧烈变化的点或边缘曲线上曲率为极大值的点。例如，下图 E 和 F 便是典型的角点

1 检测思路

在图像中定义一个局部小窗口，然后沿各个方向移动这个窗口，则会出现 a) b) c) 三种情况，分别对应平坦区、边缘和角点

a) 窗口内的图像强度，在窗口向各个方向移动时，都没有发生变化，则窗口内都是 “平坦区”，不存在角点

b) 窗口内的图像强度，在窗口向某一个 (些) 方向移动时，发生较大变化；而在另一些方向不发生变化，那么，窗口内可能存在 “边缘”

c) 窗口内的图像强度，在窗口向各个方向移动时，都发生了较大的变化，则认为窗口内存在 “角点”

a) flat region b) edge c) corner

2 Harris 角点

2.1 泰勒展开

图像在点 $(x,y) $ 处的灰度值为 $I(x, y)$，当在 $x$ 方向上平移 $\Delta u$，且 $y$ 方向上平移 $\Delta v$ 时，图像灰度值的变化为

　 $\qquad E(\Delta u,\Delta v) = \sum\limits_{x,y} \, \underbrace{w(x,y)}_\text{window function} \; [\underbrace{I(x+\Delta u, y+\Delta v)}_\text{shifted intensity} - \underbrace{I(x, y)}_\text{intensity}]^2$

$I(x,y)$ 的偏导数分别记为 $I_x$ 和 $I_y$，则上式用一阶泰勒级数近似展开

$\qquad \sum\limits_{x,y} \; [I(x+\Delta u, y+\Delta v) - I(x, y)]^2 \approx \sum\limits_{x,y} \; [I(x, y) +\Delta uI_x + \Delta vI_y - I(x, y)]^2 = \sum\limits_{x,y} \; [\Delta u^2I_x^2 + 2\Delta u \Delta vI_x I_y + \Delta v^2I_y^2 ]$

写成矩阵形式

$\qquad E(\Delta u,\Delta v) \approx \begin{bmatrix} \Delta u & \Delta v \end{bmatrix} \left ( \displaystyle \sum_{x,y} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \\ I_xI_{y} & I_{y}^{2} \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} \Delta u \\ \Delta v \end{bmatrix}$

则有

$\qquad E(\Delta u,\Delta v) \approx \begin{bmatrix} \Delta u & \Delta v \end{bmatrix} M \begin{bmatrix} \Delta u \\ \Delta v \end{bmatrix}$ ，假定 $M = \displaystyle \sum_{x,y} w(x,y) \begin{bmatrix} I_x^{2} & I_{x}I_{y} \\ I_xI_{y} & I_{y}^{2} \end{bmatrix}$

2.2 判别方法

定义角点响应值 $R = det(M) - k(trace(M))^{2} = \lambda_{1} \lambda_{2} - k (\lambda_{1}+\lambda_{2})^2 $，根据响应值的大小，判断小窗口内是否包含角点：

1) “平坦区”：|R| 小的区域，即 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 都小；

2) “边缘”： R <0 的区域，即 $\lambda_1 >> \lambda_2$ 或反之；

3) “角点”： R 大的区域，即 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 都大且近似相等

为了便于直观理解，绘制成 $\lambda_1-\lambda_2$ 平面如下图：

2.3 cornerHarris()

OpenCV 中 Harris 角点检测的函数为:

void  cornerHarris (InputArray      src,   // 输入图像 (单通道，8位或浮点型)OutputArray     dst,   // 输出图像 (类型 CV_32FC1，大小同 src)int      blockSize,    // 邻域大小int      ksize,        // Sobel 算子的孔径大小double   k,            // 经验参数，取值范围 0.04 ~ 0.06int      borderType = BORDER_DEFAULT    // 边界模式
)

2.4 代码示例

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"using namespace cv;
// Harris corner parameters
int  kThresh = 150;
int kBlockSize = 2;
int kApertureSize = 3;
double k = 0.04;int main()
{// read imageMat src, src_gray;src = imread("building.jpg");if(src.empty())return -1;cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);Mat dst, dst_norm, dst_norm_scaled;// Harris corner detectcornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k);normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1);convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled);// draw detected cornersfor(int j=0; j < dst_norm.rows; j++){for(int i=0; i<dst_norm.cols;i++){if((int)dst_norm.at<float>(j,i) > kThresh){circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0,255,0));}}}imshow("harris corner", src);waitKey(0);
}

检测结果：

3 Shi-Tomasi 角点

Shi-Tomasi 角点是 Harris 角点的改进，在多数情况下，其检测效果要优于 Harris。二者的区别在于，Shi-Tomasi 选取 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 中的最小值，作为新的角点响应值 $R$

$\qquad R = min(\lambda_1, \lambda_2)$

则相应的 $\lambda_1-\lambda_2$ 平面为：

3.1 goodFeaturesToTrack()

OpenCV 中 Shi-Tomasi 角点检测函数为：

void  goodFeaturesToTrack (     InputArray      image,     // 输入图像 (单通道，8位或浮点型32位)OutputArray     corners,   // 检测到的角点int         maxCorners,    // 最多允许返回的角点数量double      qualityLevel,  //  double      minDistance,   // 角点间的最小欧拉距离InputArray  mask = noArray(), //int         blockSize = 3,    //bool        useHarrisDetector = false,  //double      k = 0.04  // )

3.2 代码示例

#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"using namespace cv;
using namespace std;int kMaxCorners = 1000;
double kQualityLevel = 0.1;
double kMinDistance = 1;int main()
{// read imageMat src, src_gray;src = imread("building.jpg");if (src.empty())return -1;cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);// Shi-Tomasi corner detectvector<Point2f> corners;goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance);// draw and show detected cornersfor (size_t i = 0; i < corners.size(); i++){circle(src, corners[i], 2.5, Scalar(0, 255, 0));}imshow("Shi-Tomasi corner", src);waitKey(0);
}

检测结果：

4 角点检测的实现

分析 cornerHarris() 源码，复现计算步骤：Sobel 算子求解 dx 和 dy -> 矩阵 M -> boxFilter -> 每个像素的角点响应值 R，对应 C++ 代码实现如下：

#include <iostream>
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"using namespace cv;
using namespace std;int kApertureSize = 3;
int kBlockSize = 2;
double k = 0.04;
int  kThresh = 150;int main()
{// read imageMat src, src_gray;src = imread("chessboard.png");if (src.empty())return -1;cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);//  determine scaledouble scale = (double)(1 << (kApertureSize - 1)) * kBlockSize;scale *= 255.0;scale = 1.0 / scale;// 1) dx, dyMat Dx, Dy;Sobel(src_gray, Dx, CV_32F, 1, 0, kApertureSize, scale);Sobel(src_gray, Dy, CV_32F, 0, 1, kApertureSize, scale);// 2) cov matrixSize size = src_gray.size();Mat cov(size, CV_32FC3);for (int i = 0; i < size.height; i++){float* cov_data = cov.ptr<float>(i);const float* dxdata = Dx.ptr<float>(i);const float* dydata = Dy.ptr<float>(i);for (int j=0; j < size.width; j++){float dx = dxdata[j];float dy = dydata[j];cov_data[j * 3] = dx * dx;cov_data[j * 3 + 1] = dx * dy;cov_data[j * 3 + 2] = dy * dy;}}// 3) box filterboxFilter(cov, cov, cov.depth(), Size(kBlockSize, kBlockSize), Point(-1,-1), false);// 4) RMat dst(size,CV_32FC1);Size size_cov = cov.size();for (int i = 0; i < size_cov.height; i++){const float* ptr_cov = cov.ptr<float>(i);float* ptr_dst = dst.ptr<float>(i);for (int j=0; j < size_cov.width; j++){float a = ptr_cov[j * 3];float b = ptr_cov[j * 3 + 1];float c = ptr_cov[j * 3 + 2];ptr_dst[j] = (float)(a * c - b * b - k * (a + c) * (a + c));}}#if HARRIS_OPENCV  // compare with cornerHarris()cornerHarris(src_gray, dst, kBlockSize, kApertureSize, k);
#endif// 5) normalizationMat dst_norm, dst_norm_scaled;normalize(dst, dst_norm, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_32FC1);convertScaleAbs(dst_norm, dst_norm_scaled);// 6) drawing cornersfor (int j = 0; j < dst_norm.rows; j++){for (int i = 0; i < dst_norm.cols; i++){if ((int)dst_norm.at<float>(j, i) > 150){circle(src, Point(i, j), 2, Scalar(0, 255, 0));}}}imshow("Harris corner", src);waitKey(0);
}

检测结果：将求得的角点响应值$R$，输出 txt 文件，与 cornerHarris() 输出的 $R$ 进行比较，结果几乎完全相同 (只有几处小数点后7位的值不同)

5 亚像素角点检测

5.1 cornerSubpix()

亚像素角点提取的函数 cornerSubPix()，常用于相机标定中，定义如下：

void  cornerSubPix(InputArray          image,  // 输入图象(单通道，8位或浮点型)InputOutputArray  corners,  // 亚像素精度的角点坐标Size              winSize,  // 搜索窗口尺寸的 1/2Size             zeroZone,  //TermCriteria     criteria   // 迭代终止准则
)

5.2 代码示例

#include <iostream>#include "opencv2/highgui.hpp"
#include "opencv2/imgproc.hpp"using namespace cv;
using namespace std;int kMaxCorners = 40;
double kQualityLevel = 0.01;
double kMinDistance = 50;int main()
{// read imageMat src, src_gray;src = imread("chessboard.png");if (src.empty())return -1;cvtColor(src, src_gray, COLOR_BGR2GRAY);// Shi-Tomasi corner detectvector<Point2f> corners;goodFeaturesToTrack(src_gray, corners, kMaxCorners, kQualityLevel, kMinDistance);// draw and show detected cornersfor (size_t i = 0; i < corners.size(); i++){circle(src, corners[i], 3, Scalar(0, 255, 0));}imshow("Shi-Tomasi corner", src);imwrite("subpix.png", src);TermCriteria criteria = TermCriteria(TermCriteria::EPS + TermCriteria::COUNT, 40, 0.001);// find corner positions in subpixelcornerSubPix(src_gray, corners, Size(5, 5), Size(-1, -1), criteria);for (size_t i = 0; i < corners.size(); i++){cout << "Corner[" << i << "]: (" << corners[i].x << "," << corners[i].y << ")" << endl;}waitKey(0);
}

输入棋盘格5行8列，对应7x4个角点，图像的分辨率为 600*387，则所有角点的理论坐标如下表：

角点的图象坐标值输出如下：

参考资料：

《图像局部不变性特征与描述》第 3 章

Harris 角点

http://www.cse.psu.edu/~rtc12/CSE486/

OpenCV Tutorials / feature2d module / Harris corner detector

OpenCV-Python Tutorials / Feature Detection and Description / Shi-Tomasi Corner Detector & Good Features to Track

OpenCV Tutorials / feature2d module / Detecting corners location in subpixels

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2 Harris 角点

2.1 泰勒展开

2.2 判别方法

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2.4 代码示例

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3.1 goodFeaturesToTrack()

3.2 代码示例

4 角点检测的实现

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