【LeetCode】求中位数（数据流、滑动窗口、两个正序数组）

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数据流中的中位数★★★
滑动窗口中位数★★★
寻找两个正序数组的中位数★★★

数据流中的中位数★★★

LeetCode 剑指 Offer 41. 数据流中的中位数

【题目】如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

例如，

[2,3,4] 的中位数是 3

[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

【示例】

输入：
["MedianFinder","addNum","addNum","findMedian","addNum","findMedian"]
[[],[1],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,null,1.50000,null,2.00000]

【解题思路】堆

创建两个堆，其中一个为大根堆，另一个为小根堆。大根堆中保存较小的数，小根堆中保存较大的数。大根堆的队头接小根堆的队头正好形成升序排列的一组数。

每次加入数字x时，先将x加入大根堆，然后大根堆出堆一个数进入小根堆，保持大根堆数字数目 + 1 始终等于小根堆数字数目或者大根堆数字数目 始终等于小根堆数字数目

class MedianFinder {PriorityQueue<Integer> pa;  //大根堆PriorityQueue<Integer> pb;  //小根堆public MedianFinder() {pa = new PriorityQueue<Integer>((o1, o2) -> Integer.compare(o2, o1));pb = new PriorityQueue<Integer>();}public void addNum(int num) {pa.offer(num);pb.offer(pa.poll());if(pb.size() - 1 > pa.size()) pa.offer(pb.poll());}public double findMedian() {return pa.size() == pb.size() ? (double)(pa.peek() + pb.peek()) / 2 : pb.peek();}
}

滑动窗口中位数★★★

LeetCode 480. 滑动窗口中位数

【题目】中位数是有序序列最中间的那个数。如果序列的大小是偶数，则没有最中间的数；此时中位数是最中间的两个数的平均数。

例如：

[2,3,4]，中位数是 3
[2,3]，中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5
给你一个数组 nums，有一个大小为 k 的窗口从最左端滑动到最右端。窗口中有 k 个数，每次窗口向右移动 1 位。你的任务是找出每次窗口移动后得到的新窗口中元素的中位数，并输出由它们组成的数组。

【示例】

给出 nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7]，以及 k = 3。

窗口位置                      中位数
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       11 [3  -1  -3] 5  3  6  7      -11  3 [-1  -3  5] 3  6  7      -11  3  -1 [-3  5  3] 6  7       31  3  -1  -3 [5  3  6] 7       51  3  -1  -3  5 [3  6  7]      6因此，返回该滑动窗口的中位数数组 [1,-1,-1,3,5,6]。

【解题思路】

方法一：思路同上寻找数据流中位数一样，使用两个堆。

需要注意的是，在堆中删除数据时要维护两个堆的大小平衡。

class Solution {Queue<Integer> lo;   //大根堆Queue<Integer> hi;   //小根堆public double[] medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {lo = new PriorityQueue<Integer>((o1, o2) -> Integer.compare(o2, o1));hi = new PriorityQueue<Integer>();double[] res = new double[nums.length - k + 1];for(int i = 0; i < nums.length; i++) {addNum(nums[i]);if(i < k - 1) continue;res[i + 1 - k] = getMedium(k);delNum(nums[i + 1 - k], k);}return res;}private void addNum(int num) {lo.offer(num);hi.offer(lo.poll());if(hi.size() - 1 > lo.size()) lo.offer(hi.poll());}private void delNum(int num, int k) {if(lo.contains(num)) {lo.remove(num);if(k % 2 == 1) lo.offer(hi.poll());}else {hi.remove(num);if(k % 2 == 0) hi.offer(lo.poll());}}private double getMedium(int k) {if(k % 2 == 0) {return ((double)lo.peek() + hi.peek()) / 2;}else {return (double)hi.peek();}}
}

方法二：插入排序+二分查找

用插入排序维护一个窗口，每次插入数据时使用二分查找寻找插入位置

class Solution {public double[] medianSlidingWindow(int[] nums, int k) {List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();double[] res = new double[nums.length - k + 1];for(int i = 0; i < nums.length; i++) {int pos = binarySearch(list, nums[i]);list.add(pos, nums[i]);if(list.size() < k) continue;if(k % 2 == 0) {res[i + 1 - k] = ((double)list.get(k / 2 - 1) + list.get(k / 2)) / 2;}else {res[i + 1 - k] = (double)list.get(k / 2);}list.remove((Integer)nums[i + 1 - k]);}return res;}//找到大于它的最小数的下标即为插入下标private int binarySearch(List<Integer> list, int val) {int le = 0, ri = list.size() - 1;while(le <= ri) {int mid = le + (ri - le) / 2;if(list.get(mid) <= val) {le = mid + 1;}else {ri = mid - 1;}}return le;}
}

寻找两个正序数组的中位数★★★

LeetCode 4. 寻找两个正序数组的中位数

【题目】给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题吗？

【示例】

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

【解题思路】

方法一：双指针合并

同归并排序中归并的思路一样，但时间复杂度并不符合要求，时间复杂度：O(m + n)

class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {double res = 0.0;int i = 0, j = 0, k = 0;int n = nums1.length + nums2.length;while(k < n) {double val = 0;if(i >= nums1.length) {val = nums2[j++];}else if(j >= nums2.length) {val = nums1[i++];}else if(nums1[i] < nums2[j]) {val = nums1[i++];}else {val = nums2[j++];}k++;if(n % 2 == 0) {if(k == n / 2) res = (double)val;if(k == n / 2 + 1) {res = (res + val) / 2;break;}}else {if(k == n / 2 + 1) {res = (double)val;break;}}}return res;}
}

方法二：二分查找

时间复杂度：O(log(m + n))

解法来自本题力扣热评（Wait想念），如图所示

class Solution {public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {int m = nums1.length;int n = nums2.length;int left = (m + n + 1) / 2;int right = (m + n + 2) / 2;return (findMid(nums1, 0, nums2, 0, left) + findMid(nums1, 0, nums2, 0, right)) / 2.0;}private int findMid(int[] nums1, int i, int[] nums2, int j, int k) {if(i >= nums1.length) return nums2[j + k - 1];if(j >= nums2.length) return nums1[i + k - 1];if(k == 1) return Math.min(nums1[i], nums2[j]);int midVal1 = (i + k / 2 - 1 < nums1.length) ? nums1[i + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;int midVal2 = (j + k / 2 - 1 < nums2.length) ? nums2[j + k / 2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;if(midVal1 < midVal2) {return findMid(nums1, i + k / 2, nums2, j, k - k / 2);}else {return findMid(nums1, i, nums2, j + k / 2, k - k / 2);}}
}

下面为两个数据测试的变量轨迹

示例一：

nums1 = {1, 4, 6, 10}
nums2 = {2, 5, 7, 9}left = (4 + 4 + 1) / 2 = 4, 调用findMid()
k = 4  i = 0 nums1[i] = 1 ,  j = 0 nums2[j] = 2
k = 2  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 0 nums2[j] = 2
k = 1  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 1 nums2[j] = 5
findMid()返回 nums2[1] = 5right = (4 + 4 + 2) / 2 = 5, 调用findMid()
k = 5  i = 0 nums1[i] = 1 ,  j = 0 nums2[j] = 2
k = 3  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 0 nums2[j] = 2
k = 2  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 1 nums2[j] = 5
k = 1  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 2 nums2[j] = 7
findMid()返回 nums1[2] = 6

示例二：

nums1 = {1, 4, 6}
nums2 = {2, 5, 7, 9}left = (3 + 4 + 1) / 2 = 4, 调用findMid()
k = 4  i = 0 nums1[i] = 1 ,  j = 0 nums2[j] = 2
k = 2  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 0 nums2[j] = 2
k = 1  i = 2 nums1[i] = 6 ,  j = 1 nums2[j] = 5
findMid()返回 nums2[1] = 5right = (3 + 4 + 2) / 2 = 4, 同上