#傅里叶变换

##傅里叶级数

https://blog.csdn.net/lafea/article/details/115756741

##基本性质

F(ω)=∫−∞+∞f(τ)e−jωτdτ=F[f(t)]f(t)=12π∫−∞+∞F(ω)ejωtdω=F−1[F(ω)]F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\mathcal{F}[f(t)]\\\ \\ f(t)= \frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\mathcal F^{-1}[F(\omega)] F(ω)=∫−∞+∞f(τ)e−jωτdτ=F[f(t)] f(t)=2π1∫−∞+∞F(ω)ejωtdω=F−1[F(ω)]
1.线性性质：F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω)2.位移性质：F[f(t±t0)]=e±jωt0F(ω)F[e±jωt0f(t)]=F(ω∓ω0)1.线性性质：\\\ \\ \mathcal{F}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(\omega)+\beta F_2(\omega)\\\ \\ 2.位移性质：\\\ \\ \mathcal{F}[f(t\pm t_0)]=e^{\pm j\omega t_0} F(\omega)\\\ \\ \mathcal{F}[e^{\pm j\omega t_0}f(t)]=F(\omega\mp\omega_0) 1.线性性质： F[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(ω)+βF2(ω) 2.位移性质： F[f(t±t0)]=e±jωt0F(ω) F[e±jωt0f(t)]=F(ω∓ω0)
3.微分性质F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω)F[tf(t)]=jdF(ω)dωF[tnf(t)]=1(−j)ndnF(ω)dωn4.积分性质：F[g(t)]=1jωF(ω)3.微分性质\\\ \\ \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(j\omega)^n F(\omega)\\\ \\ \mathcal{F}[tf(t)]=j\frac{dF(\omega)}{d\omega}\\\ \\ \mathcal{F}[t^nf(t)]=\frac{1}{(-j)^n}\frac{d^nF(\omega)}{d\omega^n}\\\ \\ 4.积分性质：\\\ \\ \mathcal{F}[g(t)]=\frac{1}{j\omega}F(\omega)\\\ \\ 3.微分性质 F[f(n)(t)]=(jω)nF(ω) F[tf(t)]=jdωdF(ω) F[tnf(t)]=(−j)n1dωndnF(ω) 4.积分性质： F[g(t)]=jω1F(ω)
5.相似性质：F[f(at)]=1∣a∣F(ωa)5.相似性质：\\\ \\ \mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac \omega a)\\\ \\ 5.相似性质： F[f(at)]=∣a∣1F(aω)

##drac−deltadrac-deltadrac−delta函数（单位冲激函数）

单位阶跃函数u(t)的导数为δ(t)筛选性：∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0)F[δ(t−t0)]=e−jωt0F[u(t)]=1jω+πδ(ω)f(t)δ(t)=f(0)δ(t)单位阶跃函数u(t)的导数为\delta(t)\\\ \\ 筛选性： \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0)\\\ \\ \mathcal F[\delta(t-t_0)]=e^{-j\omega t_0}\\\ \\ \mathcal F[u(t)]=\frac 1 {j\omega} +\pi\delta(\omega)\\\ \\ f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t) 单位阶跃函数u(t)的导数为δ(t) 筛选性：∫−∞+∞δ(t−t0)f(t)dt=f(t0) F[δ(t−t0)]=e−jωt0 F[u(t)]=jω1+πδ(ω) f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
chain:12π⇒Fδ(t)⇒F1⇒F2πδ(t)chain:\frac 1 {2\pi} \stackrel{\mathcal F}\Rightarrow \delta{(t)} \stackrel{\mathcal F}\Rightarrow 1 \stackrel{\mathcal F}\Rightarrow2\pi\delta(t) chain:2π1⇒Fδ(t)⇒F1⇒F2πδ(t)

##卷积

f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ交换律：f1∗f2=f2∗f1结合律：f1∗(f2∗f3)=(f1∗f2)∗f3分配律：f1∗(f2+f3)=f1∗f2+f1∗f3f(t)∗δ(t)=f(t)a[f1∗f2]=[af1]∗f2d[f1∗f2]dt=df1dt∗f2f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\\\ \\ 交换律：f_1*f_2=f_2*f_1\\\ \\ 结合律：f_1*(f_2*f_3)=(f_1*f_2)*f_3\\\ \\ 分配律：f_1*(f_2+f_3)=f_1*f_2+f_1*f_3\\\ \\ f(t)*\delta(t)=f(t)\\\ \\ a[f_1*f_2]=[af_1]*f_2\\\ \\ \frac{d[f_1*f_2]}{dt}=\frac{df_1}{dt}*f_2 f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)dτ 交换律：f1∗f2=f2∗f1 结合律：f1∗(f2∗f3)=(f1∗f2)∗f3 分配律：f1∗(f2+f3)=f1∗f2+f1∗f3 f(t)∗δ(t)=f(t) a[f1∗f2]=[af1]∗f2 dtd[f1∗f2]=dtdf1∗f2
卷积定理：F[f1∗f2]=F1(ω)⋅F2(ω)F[f1⋅f2]=12πF1(ω)∗F2(ω)f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0)卷积定理：\\\ \\ \mathcal F[f_1*f_2]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)\\\ \\\ \mathcal F[f_1\cdot f_2]=\frac 1 {2\pi}F_1(\omega) * F_2(\omega)\\\ \\ f(t)*\delta(t-t_0)=f(t-t_0) 卷积定理： F[f1∗f2]=F1(ω)⋅F2(ω) F[f1⋅f2]=2π1F1(ω)∗F2(ω) f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0)

#LaplaceLaplaceLaplace变换

##基本性质

F(s)=∫0+∞f(τ)e−sτdτ=L[f(t)]f(t)=12πj∫β−j∞β+j∞F(s)estds=L−1[F(s)]F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(\tau)e^{-s\tau}d\tau=\mathcal{L}[f(t)]\\\ \\ f(t)= \frac 1 {2\pi j} \int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty} F(s)e^{st}ds=\mathcal L^{-1}[F(s)] F(s)=∫0+∞f(τ)e−sτdτ=L[f(t)] f(t)=2πj1∫β−j∞β+j∞F(s)estds=L−1[F(s)]

1.线性性质：L[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(s)+βF2(s)2.位移性质：L[e±atf(t)]=F(s∓a)3.延迟性质：L[f(t−t0)]=e−st0F(s)L−1[e−st0F(s)]=f(t−t0)⋅u(t−t0)1.线性性质：\\\ \\ \mathcal{L}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)\\\ \\ 2.位移性质：\\\ \\ \mathcal L[e^{\pm at}f (t)]=F(s\mp a)\\\ \\ 3.延迟性质：\\\ \\ \mathcal L[f(t-t_0)]=e^{-st_0}F(s)\\\ \\ \mathcal L^{-1}[e^{-st_0}F(s)]=f(t-t_0)\cdot u(t-t_0) 1.线性性质： L[αf1(t)+βf2(t)]=αF1(s)+βF2(s) 2.位移性质： L[e±atf(t)]=F(s∓a) 3.延迟性质： L[f(t−t0)]=e−st0F(s) L−1[e−st0F(s)]=f(t−t0)⋅u(t−t0)

4.微分性质L[f′(t)]=sF(s)−f(0)L[f′′(t)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0)L[tf(t)]=−F′(s)L[tnf(t)]=(−1)nF(n)(s)L[tf′(t)]=−F(s)−sF′(s)L[tf′′(t)]=−(2sF(s)+s2F′(s)−f(0))4.微分性质\\\ \\ \mathcal L[f'(t)]=sF(s)-f(0)\\\ \\ \mathcal L[f''(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\\\ \\ \mathcal L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\\\ \\ \mathcal L [tf(t)] =-F'(s)\\\ \\ \mathcal L[t^nf(t)]=(-1) ^nF^{(n)}(s)\\\ \\ \mathcal L[tf'(t)]=-F(s)-sF'(s)\\\ \\ \mathcal L[tf''(t)]=-(2sF(s)+s^2F'(s)-f(0)) 4.微分性质 L[f′(t)]=sF(s)−f(0) L[f′′(t)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0) L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−f(n−1)(0) L[tf(t)]=−F′(s) L[tnf(t)]=(−1)nF(n)(s) L[tf′(t)]=−F(s)−sF′(s) L[tf′′(t)]=−(2sF(s)+s2F′(s)−f(0))
5.积分性质：L[∫0tf(t)dt]=1sF(s)L[∫0t∫0t∫0t⋯ntimesf(t)dt]=1snF(s)L[f(t)t]=∫s∞F(s)ds⋆∫0+∞f(t)te−stdt=∫s∞F(s)ds取s=0∫0+∞f(t)tdt=∫0∞F(s)ds5.积分性质：\\\ \\ \mathcal L[\int_0^tf(t)dt]=\frac 1 s F(s)\\\ \\ \mathcal L[\int_0^t\int_0^t\int_0^t\stackrel{n\space times}\cdots f(t)dt]=\frac 1 {s^n} F(s)\\\ \\ \mathcal L[\frac{f(t)} t]=\int _s^\infty F(s)ds\\\ \\ \star \int_0^{+\infty}\frac{f(t)} t e^{-st}dt=\int_s^\infty F(s) ds \\取s=0\\ \int_0^{+\infty}\frac{f(t)} t dt=\int_0^\infty F(s) ds 5.积分性质： L[∫0tf(t)dt]=s1F(s) L[∫0t∫0t∫0t⋯n timesf(t)dt]=sn1F(s) L[tf(t)]=∫s∞F(s)ds ⋆∫0+∞tf(t)e−stdt=∫s∞F(s)ds取s=0∫0+∞tf(t)dt=∫0∞F(s)ds

##卷积

卷积定理：L[f1∗f2]=F1(s)⋅F2(s)f1eat∗f2eat=eatf1∗f2卷积定理：\\\ \\ \mathcal L[f_1*f_2]=F_1(s)\cdot F_2(s)\\\ \\\ f_1e^{at}*f_2e^{at}=e^{at}f_1*f_2 卷积定理： L[f1∗f2]=F1(s)⋅F2(s) f1eat∗f2eat=eatf1∗f2

##公式大全

L[ebtu(t−a)]=e−a(s−b)s−b\mathcal L[e^{bt}u(t-a)]=\frac{e^{-a(s-b)}}{s-b} L[ebtu(t−a)]=s−be−a(s−b)

##求拉氏逆变换

###公式法

直接套用公式 / 化简后套用公式 / 有理分式拆开后套用公式

###留数法

-留数计算规则
f(t)=∑k=1nRes[F(s)est,sk]f(t)=\sum_{k=1}^n Res[F(s)e^{st}, s_k] f(t)=k=1∑nRes[F(s)est,sk]
分母要化为首一标准型，s前系数为1

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【积分变换】积分变换常用公式定理与方法

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#傅里叶变换

##傅里叶级数

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##drac−deltadrac-deltadrac−delta函数（单位冲激函数）

##卷积

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