模式分解保持函数依赖判断—

前言

定义1：设R（U，F）是一个关系模式，F是函数依赖集，若F+^++= ( UUUi=1kFi)_{i=1}^{k}F_i)i=1kFi)+^++，则R<U, F>的分解ρ={ R1<U1, F1>，R2<U2, F2>，…，Rk<Uk, Fk> } ，则分解ρ保持函数依赖。
定义2：分解前函数依赖的闭包和分解后各个函数依赖并集的闭包相等；即分解不能丢失函数依赖
保持函数依赖性判断完全可以根据定义及Armstrong公理进行判断。对于不能简单的推算出是否保持函数依赖，则需要通过以下算法实现。

判断算法

判断一个模式分解是否保持函数依赖，假设R（U，F）分解为R1（U1，F1）、R2（U2，F2）… Rn_nn（Un_nn，Fn_nn）
其中：U1_11∪∪∪U2_22…∪∪∪Un_nn=U，F1_11、F2_22、Fn_nn分别是F在U1_11、U2_22…Un_nn上的投影。处理步骤如：
第一步：设F’=F1_11UF2_22…UFn_nn；判断F’是否覆盖了F，若包含了F中所有的函数依赖，则一定是保持函数依赖的，判断结束，否则进入第二步
第二步：对F’中没显式包含的函数依赖依据armstrong公理做初步判断，F’蕴含了该函数依赖，F’覆盖了该函数依赖。如不能判断得出，使用以下算法去实现，只要有一个函数依赖没有覆盖的到，则不保持函数依赖。是否蕴含了某个函数依赖判断的算法如下：

假设：需要判断是否蕴含了ααα->βββ函数依赖；
令 Result=ααα
开始扫描Ri_ii，T=(Result∩R∩R∩Ri_ii)F+_F^+F+∩Ri
令：Result=Result∪∪∪T
Result包含了βββ，则：ααα->βββ成立，算法终止
Result有变化，但还没包含βββ，继续下一轮
Result无变化，且不包含βββ，则：ααα->βββ不成立，分解不覆盖ααα->βββ，说明不保持函数依赖。

示例

例1：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A—>C,B—>C,C—>D,DE—>C,CE—>A}，
R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有函数依赖性。
解：
求投影：R1_11 F1_11{A—>D} ，R2_22 F2_22{ØØØ} ，R3_33 F3_33{ØØØ}，R4_44（CDE）， F4_44（DE->C,C->D}
F’=F−-−（F1_11UF2_22UF3_33UF4_44）={A->D、DE->C,C->D}
A->C、B->C、CE->A这些函数依赖需要进一步的判断是否被覆盖到

根据Armstrong公理简单判断不出,F’是否蕴含了A->C、B->C、CE->A等函数依赖

转入求闭包操作：
A->C：
第一轮：
令： Result={A}
Result与R1求交，为{A}, 求A的闭包：AF+_F^+F+={ACD}, 则T={ACD}∩∩∩R1_11={AD}; Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R2求交，为{A}, 求A的闭包：AF+_F^+F+={ACD}, 则T={ACD}∩∩∩R2_22={A}; Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R3求交，为{ØØØ}, Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R4求交，为{D}, 求D的闭包：DF+_F^+F+={D}, 则T={D}∩∩∩R4_44={D} Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R5求交，为{A}, 求A的闭包：AF+_F^+F+={ACD}, 则T={ACD}∩∩∩R5_55={A} Result= Result∪∪∪T={AD}
第一轮，开始Result={A}，最后得到Result={AD}，Result发生变化，开始第二轮
第二轮
此时, Result={AD}
Result与R1求交，为{AD}, 求AD的闭包：ADF+_F^+F+={ACD}, 则T={ACD}∩∩∩R1_11={AD}; Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R2求交，为{A}, 求A的闭包：AF+_F^+F+={ACD}, 则T={ACD}∩∩∩R2_22={A}; Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R3求交，为{ØØØ}, Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R4求交，为{D}, 求D的闭包：DF+_F^+F+={D}, 则T={D}∩∩∩R4_44={D} Result= Result∪∪∪T={AD}
Result与R5求交，为{A}, 求A的闭包：AF+_F^+F+={ACD}, 则T={ACD}∩∩∩R5_55={A} Result= Result∪∪∪T={AD}
第二轮，开始Result={AD}，最后得到Result={AD}，Result无变化且Result不包含C，不能覆盖A->C，无需做其他两个验证了。
所以：此模式分解不保持函数依赖性。

例2：给定关系模式R(U,F),U={A,B,C,D} F={A->B, B->C, C->D, D->A}
分解为R1：{AB}、R2{BC}、R3{CD}，判断此分解是否具有依赖保持性
解：求投影
R1_11 F1_11{A->B，B->A} ，
R2_22 F2_22{C->B，B->C} ，
R3_33 F3_33{C->D，D->C}，
F’=（F1_11UF2_22UF3_33UF4_44）={A->B，B->A，C->B，B->C，C->D，D->C}
缺少：函数依赖D->A;
DF′+_F'^+F′+={DCBA}；表示F’蕴含了D->A，F’与F是等价的；所以保持函数依赖性
完毕。

我们可以使用第三步方法再验证一下F’是否蕴含了D->A
第一轮：
令： Result={D}
Result与R1求交，为{ØØØ}, 求ØØØ的闭包得到ØØØ，T={ØØØ}∩∩∩R1_11={ØØØ}; Result= Result∪∪∪T={D}
Result与R2求交，为{ØØØ}, 求ØØØ的闭包得到ØØØ，T={ØØØ}∩∩∩R2_22={ØØØ}; Result = Result∪∪∪T={D}
Result与R3求交，为{D}, 求D的闭包,DF+_F^+F+={ABCD}，T={ABCD}∩∩∩R3_33={CD}; Result= Result∪∪∪T={CD}
由于最后的Result={CD}和最初的Result={D}不同，我们开始第二轮
第二轮：
Result={CD}
Result与R1(AB)求交，为{ØØØ}, 求ØØØ的闭包得到ØØØ，T={ØØØ}∩∩∩R1_11={ØØØ}; Result= Result∪∪∪T={CD}
Result与R2(BC)求交，为{C}, 求C的闭包CF+_F^+F+={ABCD}，T={ABCD}∩∩∩R2_22={BC}; Result= Result∪∪∪T={BCD}
Result与R3(CD)求交，为{CD}, 求CD的闭包,DCF+_F^+F+={ABCD}，T={ABCD}∩∩∩R3_33={CD}; Result= Result∪∪∪T={BCD}
由于最后的Result={BCD}和最初的Result={CD}不同，我们开始第三轮
第三轮：
Result={BCD}
Result与R1(AB)求交，为{B}, 求B的闭包BF+_F^+F+={ABCD}，T={ABCD}∩∩∩R1_11={AB}; Result= Result∪∪∪T={ABCD}
此时：result已经包含了A，说明F’是否蕴含了D->A
F’与F等价，保持函数依赖性。

结论

保持函数依赖性，就是做模式分解后的F’（各个子模式函数依赖的并集）是否与F（原有的函数依赖集）等价，F’包含所有的F中的函数依赖则可以得出保持函数的依赖性（充分条件），如果F’不显式包含F中的函数依赖，还需进一步判断，判断方法有两条，第一种是通过F’中的属性闭包去求，是否蕴含函数依赖（这种方法要求做函数投影时，不能缺项）；第二种使用给定的算法去求，对投影要求简单，但过程特别麻烦。

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