Aho-Corasick Automaton · AC自动机

AC自动机是一个高效的字符串多模匹配算法，它的核心想法是把KMP的失配指针做到Trie上，从而实现对于所有模板字符串而言的单次文本串扫描出结果。由此可见，若要整下AC自动机，必须先掌握Trie和KMP。另外，AC自动机真的不是自动帮你AC的机子 ~~其实你可以找AK自动机~~。
注意，下文涉及的Trie以及KMP主要为AC自动机做铺垫，详细算法介绍请见相应文章！

·字典树(Trie)

其实字典树、前缀树什么的是同一个东西。

不难看出，树上每个节点都对应了一个单词。Trie就是这样一颗多叉树（26叉较常用，图中省略了空子树），它的边用一个大小为26的数组记录，这样就可以实现O(1)向下查找。例如单词“tea”，它对应树中路径root (第零层) > 1-1(第一层左往右第一个) > 2-2 > 3-1 。
插入：从根开始，顺着边往下走（O(1)递进，实现见代码），当走到词的末位时标记当前节点
查询：从根开始，顺着边往下走（中途走不通视为查询失败），当走到词的末位时检查当前节点，确认是否被标记。
实现方法：~~市面上~~ 有两种：数组模拟和充斥着指针的动态实现，建议初学者使用静态数组，dalao们请随意

代码~~一言不合就封装~~：

class Trie
{
private:class Nodes {public:Nodes* nxt[26];bool end;Nodes(){for(int i=0;i<26;++i)nxt[i]=NULL;end=false;}void init(){for(int i=0;i<26;++i)nxt[i]=NULL;end=false;}};Nodes root,*now;
public:Trie(){this->root.init();this->now=NULL;}void init(){this->root.init();this->now=NULL;}int insert(const char *s){if(!s)return 0;this->now=&this->root;for(int i=0;s[i];++i){char ch=(s[i]>='a'&&s[i]<='z'?s[i]-'a':s[i]-'A');//假定大小写通用//一般情况下这样写： char ch=s[i]-'a';if(!this->now->nxt[ch]){if((this->now->nxt[ch]=new Nodes)==NULL){return -1;//申请内存失败，返回错误信息}}this->now=this->now->nxt[ch];}this->now->end=true;//标记单词末尾return 1;}bool find(const char *s){this->now=&this->root;for(int i=0;s[i];++i){char ch=(s[i]>='a'&&s[i]<='z'?s[i]-'a':s[i]-'A'); if(!this->now->nxt[ch]){return false;}this->now=this->now->nxt[ch];}return this->now->end;}~Trie()//析构函数？并不会写qwq{}
};

·看毛片(KMP)

看毛片算法至关重要，请务必仔细阅读并理解相应的内容。

部分匹配值

· 我也不知道是不是这么叫，反正实际上是最长公共前后缀。
· 最长公共前后缀：~~（前缀和后缀的定义就不说了，如果不会，自行Ctrl+w）~~ 找到max(len)，使得字符串长度为len的前缀和后缀完全匹配。第三个栗子： ABCAB的最长公共前后缀为AB，len=2
~~算了还是说一下前缀和后缀吧：~~

ABCBCD
len     前缀         后缀0     (空串)       (空串)1     A            D2     AB           CD3     ABC          BCD4     ABCB         CBCD5     ABCBC        BCBCD......6     ABCBCD       ABCBCD

部分匹配值的获取（get_next函数）

· 惯例：如果你还不知道部分匹配值，请按Ctrl+w
next数组的意义：nxt[i]表示搜索词从开头（第零位）到第i位的部分匹配值

void mknxt(int nxt[],int lw,char w[])
{int k=0,i=1;//k是上一次的匹配值，i务必从1开始for(k=0,i=1;i<lw;++i){while(k>0&&w[i]!=w[k])//k>0不解释，w[i]!=w[k]即当前匹配不成功k=nxt[k-1];//我也不想解释，可就是难解释啊if(w[i]==w[k])//当前位置匹配成功k++;nxt[i]=k;}
}

当前位置匹配成功的操作很好理解，k+1即可。
关键在于不相等的情况：k=nxt[k-1]是什么鬼！

w[k]与w[i]不等的处理方法：显然长度为k的前后缀是不能用了，所以应当去考虑短一点的前后缀。展开图中大条子，出现上下两个小条子，小条子的结构也是绿黄绿，而且(1-1)=(1-2),(2-1)=(2-2)。我们知道(大条子绿色前缀)=(大条子绿色后缀)，所以(1-1)=(1-2)=(2-1)=(2-2)。然后执行k=nxt[k-1]，原图变为：

现在，大条子中的绿色部分已经缩短，k的值改变为原来的nxt[k-1]。再次检查w[k]和w[i]。

另外：
如果你实在看不懂我说的，或许这个能帮到你（下文的P数组即w数组）：

上图转自博客园的 c_cloud ，他的文章参考
http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm.html

查找

void KMP()
{for(int i=0,k=0;i<ls;++i){while(k>0&&w[k]!=s[i])k=nxt[k-1];if(w[k]==s[i])k++;if(k==lw)printf("Pattern occurs with shift:%d\n",(i-lw+1));}
}

如果你看懂了next数组的构造，这里也就不需要解释了

·正片-AC自动机

当需要找的东西太多时，KMP就显得很磨叽（需要对每一个模板串构造一次nxt数组并在所有文本串中找一次），因此引入AC自动机。

# 构造Trie

将模板串全部读入并构造Trie，这里需要在之前的Trie基础上新增last和fail指针，前者叫做后缀链接（后头再解释），后者就是失配边。

# 画图构造失配边与后缀链接

失配边类似于KMP中的next，实际上指向了一个串的后缀(只需要满足后缀的关系就行)，有了这玩意儿可以极大的方便查找；

后缀链接指向串的后缀（废话）且该后缀是一个完整的单词。后缀链接的作用很显然，如果有{“fubuki”,”ki”}，某时刻已经找到了”fubuki”，那么顺着后缀链接就能找到”ki”，这样一来，后缀链接就可以进行递归累计。

void ACA()//BFS构造失配边
{queue<Trie*>que;for(int i=0;i<26;++i){now=root.nxt[i];if(now){que.push(now);now->f=&root;}}//初始化队列while(!que.empty()){//逐层构造Trie *hed=que.front();que.pop();for(int i=0;i<26;++i){//构造对于now->nxt[i]的fail与lastTrie *j=hed->f;now=hed->nxt[i];if(!now){if(j)hed->nxt[i]=j->nxt[i];//这句过会儿解释，请暂忽略continue;}que.push(now);while(j&&!j->nxt[i])//从hed->f的基础上获取hed->nxt[i]->f，找一个hed的后缀，且这个后缀的后一个字符为ij=j->f;
/* <???>"*********"'字符' hed->nxt[i]对应的串(双引号内为已经确定fail的部分)和当前字符"*********"'未知字符' hed->f对应的串及其下一个字符(未知)显然，两端中双引号内字符串完全匹配，只需考虑二者的下一个字符是否相等
*/if(j)//数组版无需判断，这里是指针防越界（空指针）{now->f=j->nxt[i];now->lst=now->f->flg?now->f:now->f->lst;//如果失配边指向一个单词就直接记录lst,否则看看失配边指向的lst}if(!now->f)//空串是任意串的后缀，无法构造fail的就指回root Ps.数组版还是不需要。。。now->f=&root;}}
}

# 匹配（查询）

与KMP的Find相差无几，只不过由推动下标变为推动节点指针

void find()
{now=&root;for(int i=0;s[i];++i){int j=s[i]-'a';while(now&&!now->nxt[j])//如果当前节点没有儿子i就顺着失配边走直到新节点有儿子i或走回rootnow=now->f;if(now)//再次防越界（空指针）{now=now->nxt[j];//相当于KMP里的指针后移if(now->flg)//当前节点记录了单词count(now);//递归累加出现次数else if(now->lst)//当前串的后缀可能是个单词count(now->lst);}else//now为空意味着走回rootnow=&root;}return;
}
/*构造失配边时有一句：hed->nxt[i]=j->nxt[i];
实际上是加上一条不存在的边，把nxt[i]变成了另一个fail指针
如果构造时写了这句话，匹配的时候就无需写while(now&&!now->nxt[j])了*/
void count(Trie *now)
{if(!now)return;cnt[now->flg]++;count(now->lst);//当前串的后缀可能又是一个单词
}

最后贴上完整代码，写的很粗鲁大家见谅

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>using namespace std;int n,m,cnt[1005];
char s[1005];//不要在意大小class Trie
{
public:Trie *nxt[26],*f,*lst;int flg;Trie(){for(int i=0;i<26;++i)nxt[i]=NULL;f=lst=NULL;flg=0;}
}root,*now;//Trievoid count(Trie *now)
{if(!now)//return;cnt[now->flg]++;count(now->lst);
}//累计答案用的，不同题目会要求不同答案void find()
{now=&root;for(int i=0;s[i];++i){int j=s[i]-'a';while(now&&!now->nxt[j])now=now->f;if(now){now=now->nxt[j];if(now->flg)count(now);else if(now->lst)count(now->lst);}elsenow=&root;}
}void ACA()//BFS构造失配边
{queue<Trie*>que;for(int i=0;i<26;++i){now=root.nxt[i];if(now){que.push(now);now->f=&root;}}while(!que.empty()){Trie *hed=que.front();que.pop();for(int i=0;i<26;++i){Trie *j=hed->f;now=hed->nxt[i];if(!now){if(j)hed->nxt[i]=j->nxt[i];continue;}que.push(now);while(j&&!j->nxt[i])j=j->f;if(j){now->f=j->nxt[i];now->lst=now->f->flg?now->f:now->f->lst;}if(!now->f)now->f=&root;}}
}int main()
{freopen("test.in","r",stdin);freopen("test.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i){now=&root;scanf("%s",s);for(int j=0;s[j];++j){if(!now->nxt[s[j]-'a'])now->nxt[s[j]-'a']=new Trie;now=now->nxt[s[j]-'a'];}now->flg=i;}ACA();for(int i=1;i<=m;++i){scanf("%s",s);find();}for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",cnt[i]);return 0;
}

·写在后边

如果哪一位dalao会 AK自动机请尽快联系本蒟蒻，必有重谢！
本文多有不妥之处，欢迎批评指正！
~~本文不会有人转的。。。~~转载请注明出处。

参考：
刘汝佳《算法竞赛入门经典（训练指南）》
徐玄長(好吧我自己)《KMP·看毛片》