傅里叶级数与傅里叶变换_Part4_傅里叶级数的复数形式

参考链接：
DR_CAN老师的原视频

0、复习Part3的内容

参考链接：傅里叶级数与傅里叶变换_Part3_周期为2L的函数展开为傅里叶级数

对于周期为TTT，即f(t)=f(t+T)f\left( t \right) = f\left( {t + T} \right)f(t)=f(t+T)的函数，他的傅里叶级数展开形式如下：

f(t)=a02+∑n=1∞ancos⁡nωt+∑n=1∞bnsin⁡nωtf\left( t \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\cos n\omega t} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}\sin n\omega t}f(t)=2a0+n=1∑∞ancosnωt+n=1∑∞bnsinnωt

a0=2T∫0Tf(t)dtan=2T∫0Tf(t)cos⁡nωtdtbn=2T∫0Tf(t)sin⁡nωtdt\begin{array}{l} {a_0} = \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)dt} \\\\ {a_n} = \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\cos n\omega tdt} \\\\ {b_n} = \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\sin n\omega tdt} \end{array}a0=T2∫0Tf(t)dtan=T2∫0Tf(t)cosnωtdtbn=T2∫0Tf(t)sinnωtdt

【在工程当中，由于时间是t≥0t \ge 0t≥0的，所以ttt是从000开始的，假设周期为 T=2LT=2LT=2L，ω≜πL=2π2L=2πT\omega \triangleq \frac{\pi }{L} = \frac{{2\pi }}{{2L}} = \frac{{2\pi }}{T}ω≜Lπ=2L2π=T2π ，这个ω\omegaω本质上就是角频率。】

1、傅里叶级数的复数形式推导

要推导傅里叶级数的复数形式，需要用到欧拉公式：eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ{e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \thetaeiθ=cosθ+isinθ ，其中，i=−1i = \sqrt { - 1}i=−1

欧拉公式的证明参考：傅里叶级数与傅里叶变换_Part0_欧拉公式证明+三角函数和差公式证明

{eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe−iθ=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ{cos⁡θ=12(eiθ+e−iθ)sin⁡θ=−12i(eiθ−e−iθ)\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \\\\ {e^{ - i\theta }} = \cos \left( { - \theta } \right) + i\sin \left( { - \theta } \right) = \cos \theta - i\sin \theta \end{array} \right.\\\\ \left\{ \begin{array}{l} \cos \theta = \frac{1}{2}\left( {{e^{i\theta }} + {e^{ - i\theta }}} \right)\\\\ \sin \theta = - \frac{1}{2}i\left( {{e^{i\theta }} - {e^{ - i\theta }}} \right) \end{array} \right. \end{array}⎩⎨⎧eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cos(−θ)+isin(−θ)=cosθ−isinθ⎩⎨⎧cosθ=21(eiθ+e−iθ)sinθ=−21i(eiθ−e−iθ)

将上述结论，带入周期为TTT的傅里叶级数的展开形式当中。
f(t)=a02+∑n=1∞an12(einωt+e−inωt)−12bni(einωt−e−inωt)=a02+∑n=1∞an−bni2einωt+an+bni2e−inωt=a02+∑n=1∞an−bni2einωt+∑n=1∞an+bni2e−inωt\begin{array}{l} f\left( t \right) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\frac{1}{2}\left( {{e^{in\omega t}} + {e^{ - in\omega t}}} \right) - \frac{1}{2}{b_n}i\left( {{e^{in\omega t}} - {e^{ - in\omega t}}} \right)} \\\\ = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} - {b_n}i}}{2}{e^{in\omega t}} + \frac{{{a_n} + {b_n}i}}{2}{e^{ - in\omega t}}} \\\\ = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} - {b_n}i}}{2}{e^{in\omega t}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} + {b_n}i}}{2}{e^{ - in\omega t}}} \end{array}f(t)=2a0+n=1∑∞an21(einωt+e−inωt)−21bni(einωt−e−inωt)=2a0+n=1∑∞2an−bnieinωt+2an+bnie−inωt=2a0+n=1∑∞2an−bnieinωt+n=1∑∞2an+bnie−inωt

这时候我们单独来看第三项 ∑n=1∞an+bni2e−inωt\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} + {b_n}i}}{2}{e^{ - in\omega t}}}n=1∑∞2an+bnie−inωt, 我们用−n-n−n来替换nnn
∑n=1∞an+bni2e−inωt→∑n=−∞−1a−n+b−ni2einωt\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} + {b_n}i}}{2}{e^{ - in\omega t}}} \to \sum\limits_{n = - \infty }^{ - 1} {\frac{{{a_{ - n}} + {b_{ - n}}i}}{2}{e^{in\omega t}}}n=1∑∞2an+bnie−inωt→n=−∞∑−12a−n+b−nieinωt

原式就变为

=a02+∑n=1∞an−bni2einωt+∑n=−∞−1a−n+b−ni2einωt=∑n=00a02ei0ωt+∑n=1∞an−bni2einωt+∑n=−∞−1a−n+b−ni2einωt\begin{array}{l} = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} - {b_n}i}}{2}{e^{in\omega t}}} + \sum\limits_{n = - \infty }^{ - 1} {\frac{{{a_{ - n}} + {b_{ - n}}i}}{2}{e^{in\omega t}}} \\\\ = \sum\limits_{n = 0}^0 {\frac{{{a_0}}}{2}{e^{i0\omega t}}} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n} - {b_n}i}}{2}{e^{in\omega t}}} + \sum\limits_{n = - \infty }^{ - 1} {\frac{{{a_{ - n}} + {b_{ - n}}i}}{2}{e^{in\omega t}}} \end{array}=2a0+n=1∑∞2an−bnieinωt+n=−∞∑−12a−n+b−nieinωt=n=0∑02a0ei0ωt+n=1∑∞2an−bnieinωt+n=−∞∑−12a−n+b−nieinωt

从上式我们发现，nnn从−∞- \infty−∞到−1- 1−1，再到000 ，再是111到∞\infty∞，也就是从−∞- \infty−∞到打通关了∞\infty∞，所以我们可以把原式写成

f(t)≜∑n=−∞∞cneinωtf\left( t \right) \triangleq \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{c_n}{e^{in\omega t}}}f(t)≜n=−∞∑∞cneinωt

上式就是傅里叶级数，复数的表达形式
下面我们来看一下系数，其中

cn=a02,n=0cn=an−bni2,n=1,2,3,4,⋯,∞cn=a−n+b−ni2,n=−1,−2,−3,−4,⋯,−∞\begin{array}{l} {c_n} = \frac{{{a_0}}}{2},n = 0\\\\ {c_n} = \frac{{{a_n} - {b_n}i}}{2},n = 1,2,3,4, \cdots ,\infty \\\\ {c_n} = \frac{{{a_{ - n}} + {b_{ - n}}i}}{2},n = - 1, - 2, - 3, - 4, \cdots , - \infty \end{array}cn=2a0,n=0cn=2an−bni,n=1,2,3,4,⋯,∞cn=2a−n+b−ni,n=−1,−2,−3,−4,⋯,−∞

Ⅰ n=0n=0n=0

cn=a02=12⋅2T∫0Tf(t)dt=1T∫0Tf(t)dt=1T∫0Tf(t)e−in0tdt{c_n} = \frac{{{a_0}}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right)dt}=\frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right){e^{ - in0t}}dt}cn=2a0=21⋅T2∫0Tf(t)dt=T1∫0Tf(t)dt=T1∫0Tf(t)e−in0tdt

Ⅱ n=1,2,3,4,⋯,∞n = 1,2,3,4, \cdots ,\inftyn=1,2,3,4,⋯,∞

这里会用到本文开始复习的Part3的内容
cn=an−bni2=12⋅2T∫0Tf(t)cos⁡nωtdt−12⋅i⋅2T∫0Tf(t)sin⁡nωtdt=1T∫0Tf(t)(cos⁡nωt−isin⁡nωt)dt=1T∫0Tf(t)[cos⁡(−nωt)+isin⁡(−nωt)]dt=1T∫0Tf(t)e−inωtdt\begin{array}{l} {c_n} = \frac{{{a_n} - {b_n}i}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\cos n\omega tdt} - \frac{1}{2} \cdot i \cdot \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\sin n\omega tdt} \\\\ = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\left( {\cos n\omega t - i\sin n\omega t} \right)dt} \\\\ = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\left[ {\cos \left( { - n\omega t} \right) + i\sin \left( { - n\omega t} \right)} \right]dt} \\\\ = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right){e^{ - in\omega t}}dt} \end{array}cn=2an−bni=21⋅T2∫0Tf(t)cosnωtdt−21⋅i⋅T2∫0Tf(t)sinnωtdt=T1∫0Tf(t)(cosnωt−isinnωt)dt=T1∫0Tf(t)[cos(−nωt)+isin(−nωt)]dt=T1∫0Tf(t)e−inωtdt

Ⅲ n=−1,−2,−3,−4,⋯,−∞n = -1,-2,-3,-4, \cdots ,-\inftyn=−1,−2,−3,−4,⋯,−∞

这里会用到本文开始复习的Part3的内容
cn=a−n+b−ni2=12⋅2T∫0Tf(t)cos⁡(−nωt)dt+12⋅i⋅2T∫0Tf(t)sin⁡(−nωt)dt=1T∫0Tf(t)[cos⁡(−nωt)+isin⁡(−nωt)]dt=1T∫0Tf(t)e−inωtdt\begin{array}{l} {c_n} = \frac{{{a_{ - n}} + {b_{ - n}}i}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\cos \left( { - n\omega t} \right)dt} + \frac{1}{2} \cdot i \cdot \frac{2}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\sin \left( { - n\omega t} \right)dt} \\\\ = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right)\left[ {\cos \left( { - n\omega t} \right) + i\sin \left( { - n\omega t} \right)} \right]dt} \\\\ = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right){e^{ - in\omega t}}dt} \end{array}cn=2a−n+b−ni=21⋅T2∫0Tf(t)cos(−nωt)dt+21⋅i⋅T2∫0Tf(t)sin(−nωt)dt=T1∫0Tf(t)[cos(−nωt)+isin(−nωt)]dt=T1∫0Tf(t)e−inωtdt

我们惊奇的发现，这cn{c_n}cn在n的三种情况下，它的复数形式的表达式是一样的。
因此，我们可以总结：

对于周期为TTT，即f(t)=f(t+T)f\left( t \right) = f\left( {t + T} \right)f(t)=f(t+T)的函数，它的傅里叶级数的复数展开形式如下：

f(t)=∑n=−∞∞cneinωtf\left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{c_n}{e^{in\omega t}}}f(t)=n=−∞∑∞cneinωt, 其中，cn=1T∫0Tf(t)e−inωtdt{c_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right){e^{ - in\omega t}}dt}cn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt

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Ⅲ n=−1,−2,−3,−4,⋯,−∞n = -1,-2,-3,-4, \cdots ,-\inftyn=−1,−2,−3,−4,⋯,−∞

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