傅里叶级数到傅里叶变换

1. 欧拉公式

欧拉公式是把复指函数和三角函数联系起来的函数，建立了三角函数和指数函数的关联：
eix=cosx+isinxe^{ix} = cosx + isinxeix=cosx+isinx
它是根据泰勒公式观察而来，证明如下：
sinx=∑k=0∞(−1)k⋅x2k+1(2k+1)!=x−x33!+x55!−x77!…sinx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \cdot \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \dotssinx=k=0∑∞(−1)k⋅(2k+1)!x2k+1=x−3!x3+5!x5−7!x7…
cosx=∑k=0∞(−1)k⋅x2k(2k)!=1−x22!+x44!−x66!…cosx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}=1 - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} \dotscosx=k=0∑∞(−1)k⋅(2k)!x2k=1−2!x2+4!x4−6!x6…
ex=∑k=0∞(−1)k⋅xk(k)!=1+x+x22!+x33!+x44!…e^x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \cdot \frac{x^{k}}{(k)!}=1 +x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} \dotsex=k=0∑∞(−1)k⋅(k)!xk=1+x+2!x2+3!x3+4!x4…
eix=1+ix−x22!−x33!i+x44!⋯e^{ix}=1 + ix -\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}i+\frac{x^4}{4!}\cdotseix=1+ix−2!x2−3!x3i+4!x4⋯
根据观察即可得到欧拉公式。我们还可以根据欧拉公式可以得到以下的结论：

{e−ix=cosx−isinx(1)eix=cosx+isinx(2)\left\{ \begin{aligned} &e^{-ix} & = cosx-isinx \qquad (1)\\ &e^{ix} & = cosx+isinx \qquad (2)\\ \end{aligned} \right. {e−ixeix=cosx−isinx(1)=cosx+isinx(2)
式(1)减去式(2)可以得到sinx=eix−e−ix2isinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}sinx=2ieix−e−ix，式(1)加上式(2)可以得到cosx=eix+e−ix2cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}cosx=2eix+e−ix。
当x=πx=\pix=π时，可以得到欧拉恒等式:
eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0eiπ+1=0

2. 三角函数系

定义三角函数系:
R={0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,⋯,sinnx,cosnx}\mathbb{R}=\{0, 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, \cdots, sinnx, cosnx\}R={0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,⋯,sinnx,cosnx}
在三角函数系中有这样的正交关系：
{∫−ππsin⁡nxcos⁡mx=0∫−ππcos⁡nxcos⁡mx=0,n≠m∫−ππsin⁡nxsin⁡mx=0,n≠m\left\{ \begin{aligned} &\int_{-\pi}^{\pi}\sin{nx}\cos{mx}=0\\ &\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\cos{mx}=0, \quad n\neq m\\ &\int_{-\pi}^{\pi}\sin{nx}\sin{mx}=0, \quad n\neq m\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧∫−ππsinnxcosmx=0∫−ππcosnxcosmx=0,n=m∫−ππsinnxsinmx=0,n=m

3. 傅里叶级数

3.1 周期为2π2\pi2π的函数展开

定义f(x)=f(x+2π)f(x)=f(x+2\pi)f(x)=f(x+2π),那么其傅里叶级数展开为：
f(x)=∑0∞ancos⁡nx+∑0∞bnsin⁡nx=a0+∑1∞ancos⁡nx+∑1∞bnsin⁡nx(1)\begin{aligned} f(x) &= \sum_{0}^{\infty}a_n\cos{nx}+\sum_{0}^{\infty}b_n\sin{nx} \\ &=a_0+\sum_{1}^{\infty}a_n\cos{nx}+\sum_{1}^{\infty}b_n\sin{nx} \qquad (1) \end{aligned} f(x)=0∑∞ancosnx+0∑∞bnsinnx=a0+1∑∞ancosnx+1∑∞bnsinnx(1)

计算a0a_0a0
只需对式(1)两边做积分，并且根据三角函数系的正交可得：
∫−ππf(x)dx=2πa0+an∫−ππ∑n=1∞cos⁡nxdx+bn∫−ππ∑n=1∞sin⁡nxdx=2πa0\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx &=2\pi a_0 + a_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\cos{nx}dx+b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\sin{nx}dx\\ &=2\pi a_0 \end{aligned}∫−ππf(x)dx=2πa0+an∫−ππn=1∑∞cosnxdx+bn∫−ππn=1∑∞sinnxdx=2πa0
那么，a0=12π∫−ππf(x)dxa_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dxa0=2π1∫−ππf(x)dx
为了公式的统一，通常我们使a0=1π∫−ππf(x)dxa_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dxa0=π1∫−ππf(x)dx，因此式(1)可以转化为:
f(x)=a02+∑1∞ancos⁡nx+∑1∞bnsin⁡nx(2),f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{1}^{\infty}a_n\cos{nx}+\sum_{1}^{\infty}b_n\sin{nx} \qquad (2),f(x)=2a0+1∑∞ancosnx+1∑∞bnsinnx(2),
这也是最为常见的表达形式。
计算ana_nan
式(2)乘以cos⁡mx\cos{mx}cosmx再做积分：
∫−ππf(x)cos⁡mxdx=∫−ππa02cos⁡mxdx+∫−ππ∑n=1∞ancos⁡nxcos⁡mxdx+∫−ππ∑n=1∞bnsin⁡nxcos⁡mxdx=∫−ππ∑n=1∞ancos⁡nxcos⁡mxdx\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos{mx}dx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos{mx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}\cos{mx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{nx}\cos{mx}dx\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}\cos{mx}dx \end{aligned} ∫−ππf(x)cosmxdx=∫−ππ2a0cosmxdx+∫−ππn=1∑∞ancosnxcosmxdx+∫−ππn=1∑∞bnsinnxcosmxdx=∫−ππn=1∑∞ancosnxcosmxdx
根据正交性可知，当n=mn = mn=m时：
∫−ππ∑n=1∞ancos⁡nxcos⁡mxdx=∫−ππancos⁡2nxdx=anπ\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}\cos{mx}dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos^2{nx}dx=a_n\pi ∫−ππn=1∑∞ancosnxcosmxdx=∫−ππancos2nxdx=anπ
因此，可得:
an=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdxa_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos{nx}dxan=π1∫−ππf(x)cosnxdx
计算bnb_nbn
同理，式(2)乘以sin⁡mx\sin{mx}sinmx再做积分:
∫−ππf(x)sin⁡mxdx=∫−ππa02sin⁡mxdx+∫−ππ∑n=1∞ancos⁡nxsin⁡mxdx+∫−ππ∑n=1∞bnsin⁡nxsin⁡mxdx=∫−ππ∑n=1∞bnsin⁡nxsin⁡mxdx\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin{mx}dx \\ &= \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\sin{mx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos{nx}\sin{mx}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{nx}\sin{mx}dx\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin{nx}\sin{mx}dx \end{aligned} ∫−ππf(x)sinmxdx=∫−ππ2a0sinmxdx+∫−ππn=1∑∞ancosnxsinmxdx+∫−ππn=1∑∞bnsinnxsinmxdx=∫−ππn=1∑∞bnsinnxsinmxdx
根据正交性可知，当n=mn = mn=m时：
∫−ππ∑n=1∞ansin⁡nxsin⁡mxdx=∫−ππansin⁡2nxdx=bnπ\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin{nx}\sin{mx}dx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n\sin^2{nx}dx=b_n\pi ∫−ππn=1∑∞ansinnxsinmxdx=∫−ππansin2nxdx=bnπ
因此，可得:
bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdxb_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin{nx}dxbn=π1∫−ππf(x)sinnxdx

综上所述，我们可以得到T=2πT=2\piT=2π的函数傅里叶级数展开为：
f(x)=a02+∑1∞ancos⁡nx+∑1∞bnsin⁡nxf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{1}^{\infty}a_n\cos{nx}+\sum_{1}^{\infty}b_n\sin{nx}f(x)=2a0+1∑∞ancosnx+1∑∞bnsinnx
其中:
{a0=1π∫−ππf(x)dxan=1π∫−ππf(x)cos⁡nxdxbn=1π∫−ππf(x)sin⁡nxdx\left\{ \begin{aligned} &a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ &a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos{nx}dx\\ &b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin{nx}dx\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a0=π1∫−ππf(x)dxan=π1∫−ππf(x)cosnxdxbn=π1∫−ππf(x)sinnxdx

3.2 周期为2L2L2L的函数展开

定义f(t)=f(t+2L)f(t)=f(t+2L)f(t)=f(t+2L)，对其换元，令x=πtLx=\frac{\pi t}{L}x=Lπt:
f(t)=f(Lxπ)=g(x)f(t)=f(\frac{Lx}{\pi})=g(x)f(t)=f(πLx)=g(x)
因此，可以将x=πtLx=\frac{\pi t}{L}x=Lπt代入上一节推导得出的展开式：
f(t)=a02+∑1∞ancos⁡nπtL+∑1∞bnsin⁡nπtLf(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{1}^{\infty}a_n\cos{\frac{n\pi t}{L}}+\sum_{1}^{\infty}b_n\sin{\frac{n\pi t}{L}}f(t)=2a0+1∑∞ancosLnπt+1∑∞bnsinLnπt
其中：
{a0=1L∫−LLf(t)dtan=1L∫−LLf(t)cos⁡nπtLdtbn=1L∫−LLf(t)sin⁡nπtLdt\left\{ \begin{aligned} &a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt\\ &a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t) \cos{\frac{n\pi t}{L}}dt\\ &b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t) \sin{\frac{n\pi t}{L}}dt\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a0=L1∫−LLf(t)dtan=L1∫−LLf(t)cosLnπtdtbn=L1∫−LLf(t)sinLnπtdt

3.3 总结

通常，ttt从0开始，T=2LT=2LT=2L，ω=πL=2πT\omega=\frac{\pi}{L}=\frac{2\pi}{T}ω=Lπ=T2π:
f(t)=a02+∑1∞ancos⁡nωt+∑1∞bnsin⁡nωtf(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{1}^{\infty}a_n\cos{{n\omega t}}+\sum_{1}^{\infty}b_n\sin{{n\omega t}}f(t)=2a0+1∑∞ancosnωt+1∑∞bnsinnωt

{a0=2T∫0Tf(t)dtan=2T∫0Tf(t)cos⁡nωtdtbn=2T∫0Tf(t)sin⁡nωtdt\left\{ \begin{aligned} &a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\\ &a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t) \cos{{n\omega t}}dt\\ &b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t) \sin{{n\omega t}}dt\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧a0=T2∫0Tf(t)dtan=T2∫0Tf(t)cosnωtdtbn=T2∫0Tf(t)sinnωtdt

4. 傅里叶级数的复数形式

根据欧拉公式：
{sin⁡θ=−i2(eiθ−e−iθ)cos⁡θ=12(eiθ+e−iθ)\left\{ \begin{aligned} &\sin{\theta}=- \frac{i}{2}(e^{i \theta} - e^{-i \theta})\\ &\cos{\theta}=\frac{1}{2}(e^{i \theta} + e^{-i \theta})\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧sinθ=−2i(eiθ−e−iθ)cosθ=21(eiθ+e−iθ)
因此可以将上一章最后得出的傅里叶级数写成复数形式：
f(t)=a02+∑n=1∞an−ibn2einωt+∑n=1∞an+ibn2e−inωtf(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}f(t)=2a0+n=1∑∞2an−ibneinωt+n=1∑∞2an+ibne−inωt
接下来有意思的来了，我们可以将第一项写为求和的形式：
a02=∑n=00a02einωt\frac{a_0}{2}=\sum_{n=0}^{0}\frac{a_0}{2}e^{in\omega t}2a0=n=0∑02a0einωt
再令第三项的n=−nn=-nn=−n:
∑n=1∞an+ibn2e−inωt=∑n=−∞−1a−n+ib−n2einωt\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-in\omega t}=\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}e^{in\omega t}n=1∑∞2an+ibne−inωt=n=−∞∑−12a−n+ib−neinωt
我们惊喜地发现这三项竟然可以合并起来了：
f(t)=∑−∞∞Cneinωtf(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega t}f(t)=−∞∑∞Cneinωt
系数CnC_nCn有三种情况：
{Cn=a02,n=0Cn=an−ibn2,n>0Cn=a−n+ib−n2,n<0\left\{ \begin{aligned} &C_n=\frac{a_0}{2}, \qquad n=0\\ &C_n=\frac{a_n-ib_n}{2}, \qquad n \gt 0\\ &C_n=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}{2}, \qquad n \lt 0\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧Cn=2a0,n=0Cn=2an−ibn,n>0Cn=2a−n+ib−n,n<0
接着，我们可以将a0a_0a0,ana_nan和bnb_nbn代入可得：
{Cn=1T∫0Tf(t)dt,n=0Cn=1T∫0Tf(t)e−inωtdt,n>0Cn=1T∫0Tf(t)e−inωtdt,n<0\left\{ \begin{aligned} &C_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt, \qquad n=0\\ &C_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt, \qquad n \gt 0\\ &C_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt, \qquad n \lt 0\\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧Cn=T1∫0Tf(t)dt,n=0Cn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt,n>0Cn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt,n<0
我们可以发现三个式子本质上都是一样的，因此我们可以得出最后的结论，：
f(t)=∑−∞∞Cneinωtf(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega t}f(t)=−∞∑∞Cneinωt
Cn=1T∫0Tf(t)e−inωtdtC_n=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-in\omega t}dtCn=T1∫0Tf(t)e−inωtdt

5. 傅里叶变换

假设一个函数的周期趋于无穷(T→∞T \to \inftyT→∞)，此时可以视为lim⁡T→∞fT(t)=f(t)\lim \limits_{T \to \infty}f_T(t)=f(t)T→∞limfT(t)=f(t)，一个周期函数就成了一个周期无限长的普通函数。
我们重新写一下傅里叶级数：
fT(t)=∑−∞∞Cneinω0tf_T(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega_0 t}fT(t)=−∞∑∞Cneinω0t
Cn=1T∫−T2T2fT(t)e−inω0tdtC_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)e^{-in\omega_0 t}dtCn=T1∫−2T2TfT(t)e−inω0tdt

频率之间的差值△ω=(n+1)ω0−nω0=ω0=2πT\triangle \omega =(n+1)\omega_0-n \omega_0=\omega_0=\frac{2\pi}{T}△ω=(n+1)ω0−nω0=ω0=T2π,如果周期趋于无穷时，频率和频率之间的距离无限接近，因此从离散成为了连续，即nω0→ωn\omega_0 \to \omeganω0→ω。
此外，由于变成了连续值，那么求和就变成了求积分，因此将傅里叶级数改写为：
f(t)=12π∫−∞∞∫−∞∞f(t)e−iωtdteiωtdωf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dte^{i \omega t}d\omegaf(t)=2π1∫−∞∞∫−∞∞f(t)e−iωtdteiωtdω,
其中我们将F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt称为傅里叶变换，而f(t)=12π∫−∞∞F(ω)eiωtdωf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i \omega t}d\omegaf(t)=2π1∫−∞∞F(ω)eiωtdω称为傅里叶逆变换。