泛函分析 01.01 距离空间-绪论
http://www.icourses.cn/sCourse/course_7021.html
爱课程–孙炯《泛函分析》注册账号即可学习，很好的网站，很好的讲座。
第一章距离空间 \color{blue}{第一章 距离空间}
§01.01绪论 \color{blue}{\S01.01 绪论}
从分析、代数中的问题到泛函分析
主要目标：
了解和掌握空间理论(包括距离空间、赋范空间、内积空间)和线性算子理论(包括线性算子空间、线性算子谱分析)中的基本概念和基本理论；
运用全新的、现代数学的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题；
学会将分析中的具体问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑的形式中加以研究；
综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法；
为进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。
下面从分析、代数、微分方程中的一些例子展开讨论，
学习如何从问题中抽象出泛函分析中的一些基本概念和基本理论；
学习如何使用类比、联想等方法，从问题中归纳出一些基本的数学思想，进而去解决未知的问题。
泛函分析探寻一般的、真正属于本质的东西，并把它们抽象化加以统一处理。
I.1泛函分析的研究对象和方法 \color{blue}{I.1 泛函分析的研究对象和方法}
数学研究的基本问题
1.函数⇒ \Rightarrow映射
函数:x∈X→f(x)∈Y 函数: x \in X \to f(x) \in Y
进一步：从一个空间X到另一个空间Y的映射。
2.运算(算子)
微分、积分都是运算，并且都是线性运算。
sinx→ ′ cosx; \sin x \stackrel{\prime}{\to} \cos x;
cosx→ ∫ sinx; \cos x \stackrel{\int}{\to} \sin x;
实际上，运算也是一种映射：X→Y. 实际上，运算也是一种映射：X \to Y.
泛函分析研究的方法
泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的一门数学分支学科。
泛函分析综合分析、代数、几何的观点和方法来研究无穷维空间上的函数、算子和极限理论，处理和解决数学研究中最关心的一些基本问题。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化。
随着笛卡尔坐标系的建立，解析几何的创立，人们把代数问题几何化，把几何问题代数化，为初等数学的许多问题开辟了全新的研究模式。
例如：方程变成图形:x 2 +y 2 =a 2 ⇔ x^2 + y^2 = a^2 \Leftrightarrow平面上以原点为中心，以a为半径的圆，(x, y)的不同选值，对应于平面上点的运动。
运动的概念引入数学，为微积分的创立做了准备。
在下面的泛函分析的研究中，我们把解析几何的这种解决问题的模式，类比地加以推广:
1.建立一个新的空间框架。
空间的元素
函数:x→f(x) 函数:x \to f(x)
运算:X→Y 运算: X \to Y
矩阵(线性运算)A n×n :X n维 →Y n维 矩阵(线性运算)A_{n \times n}: X_{n维} \to Y_{n维}
x∈X,x→Ax∈Y \qquad \qquad \qquad x \in X, x \to Ax \in Y
注:以后特别注意的是空间中的元素是什么,空间是什么样的结构(距离、范数、内积)? 注:以后特别注意的是空间中的元素是什么,空间是什么样的结构(距离、范数、内积)?
2.在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题。
(把分析中的问题结合几何、代数的方法加以处理。)
在解析几何、线性代数中，研究的是:
有限维(n维)空间中的运动和映射;
从n维空间到m维空间的线性运算。
在泛函分析(线性泛函分析)中，主要研究的是：
从无穷维空间到无穷维空间的线性运算。
于是特别关注无穷维空间的性质，与有限维空间的区别；
无穷维空间的收敛性问题(加法与无穷级数的区别)。
(1)相同:线性空间。
(2)不同:无穷维。
(3)有什么新问题?
I.2有限维空间的坐标分解和算子分解 \color{blue}{I.2 有限维空间的坐标分解和算子分解}
我们通过一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起这样的空间框架。
把有限维空间的研究方法和结论自然地推广到无限维空间。
从分析、代数中的问题出发，引入泛函分析的研究思想方法。
这些例子都是我们熟悉的，希望从中 领悟到数学处理问题的基本思路，
进而把它们类比地推广到我们尚且未知的领域。
例0.1.1R 3 (三维实空间)中的向量分解. 例0.1.1 R^3(三维实空间)中的向量分解.
在R 3 可建立正交坐标系:i ⃗ =(1,0,0),j ⃗ =(0,1,0),k ⃗ =(0,0,1). 在R^3可建立正交坐标系:\vec{i} = (1, 0, 0), \vec{j} = (0, 1, 0), \vec{k} = (0, 0, 1).
进一步可以定义内积:a ⃗ ⋅b ⃗ =(a ⃗ ,b ⃗ )=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 进一步可以定义内积:\vec a \cdot \vec b = (\vec a, \vec b) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
其中a ⃗ =(a 1 ,a 2 ,a 3 ),b ⃗ =(b 1 ,b 2 ,b 3 ),且a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |⋅cosθ. 其中\vec a = (a_1, a_2, a_3), \vec b = (b_1, b_2, b_3),且\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cdot \cos \theta.
空间中的任意向量a ⃗ ∈R 3 ,可以用坐标加以表示:a ⃗ =(a 1 ,a 2 ,a 3 ), 空间中的任意向量\vec a \in R^3,可以用坐标加以表示: \vec a = (a_1, a_2, a_3),
其中:a 1 =(a ⃗ ,i ⃗ ),a 2 =(a ⃗ ,j ⃗ ),a 3 =(a ⃗ ,k ⃗ ). 其中: a_1 = (\vec a, \vec i), a_2 = (\vec a, \vec j), a_3 = (\vec a, \vec k).
即:a 1 ,a 2 ,a 3 分别是a ⃗ 在i ⃗ ,j ⃗ ,k ⃗ 上的投影, 即: a_1, a_2, a_3分别是\vec a在\vec i, \vec j, \vec k 上的投影,
a ⃗ =a 1 i ⃗ +a 2 j ⃗ +a 3 k ⃗ =(a ⃗ ,i ⃗ )i ⃗ +(a ⃗ ,j ⃗ )j ⃗ +(a ⃗ ,k ⃗ )k ⃗ .(0.1.1) \vec a = a_1 \vec i + a_2 \vec j + a_3 \vec k = (\vec a, \vec i) \vec i +(\vec a, \vec j) \vec j + (\vec a, \vec k) \vec k. \quad (0.1.1)
|a ⃗ | 2 =|(a ⃗ ,i ⃗ )| 2 +|(a ⃗ ,j ⃗ )| 2 +|(a ⃗ ,k ⃗ )| 2 .(0.1.2) |\vec a|^2 = |(\vec a, \vec i)|^2 + |(\vec a, \vec j)|^2 + |(\vec a, \vec k)|^2. \quad (0.1.2)
在n维欧几里得空间中R n 也有类似的结果, 在n维欧几里得空间中R^n也有类似的结果,
a ⃗ =(a 1 ,a 2 ,⋯,a n ), \vec a = (a_1, a_2, \cdots, a_n),
a ⃗ =a 1 e ⃗ 1 +⋯+a n e ⃗ n \vec a = a_1 \vec e_1 + \cdots + a_n \vec e_n
=(a ⃗ ,e ⃗ 1 )e ⃗ 1 +⋯+(a ⃗ ,e ⃗ n )e ⃗ n ,(0.1.3) = (\vec a, \vec e_1) \vec e_1 + \cdots + (\vec a, \vec e_n) \vec e_n, \quad (0.1.3)
|a ⃗ | 2 =∑ i=1 n |(a ⃗ ,e ⃗ i )| 2 ,(0.1.4) |\vec a|^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} |(\vec a, \vec e_i)|^2, \quad (0.1.4)
其中:a ⃗ ∈R n ,e ⃗ 1 ,e ⃗ 2 ,⋯,e ⃗ n 是R n 的标准正交基. 其中: \vec a \in R^n, \vec e_1, \vec e_2, \cdots, \vec e_n是R^n的标准正交基.
注:空间中的一个向量按标准正交基做了投影分解，把复杂问题简单化。 注:空间中的一个向量按标准正交基做了投影分解，把复杂问题简单化。
这样的方法同样可以类推到线性变换(映射)的研究上. 这样的方法同样可以类推到线性变换(映射)的研究上.
例.0.1.2线性变换A按“坐标分解”. 例. 0.1.2 线性变换A按“坐标分解”.
A是从R 4 到R 4 的对称矩阵, A是从R^4到R^4的对称矩阵,
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 011−1 10−11 1−101 −1110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
其中x,y∈R 4 ,A:x→Ax,Ax=y. 其中 x, y \in R^4, A: x \to Ax, Ax = y.
我们注意到: 我们注意到:
A是对称的线性变换,A(αx 1 +βx 2 )=αAx 1 +βAx 2 ; A是对称的线性变换, A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A x_1 + \beta A x_2;
A的特征值是实的; A的特征值是实的;
A的属于不同特征值的特征向量相互正交; A的属于不同特征值的特征向量相互正交;
A可以化为对角矩阵. A可以化为对角矩阵.
对角矩阵一定正交相似于一个对角矩阵. 对角矩阵一定正交相似于一个对角矩阵.
具体做法: 具体做法:
(1)|λE−A|=(λ−1) 3 (λ+3). (1) |\lambda E - A| = (\lambda - 1)^3(\lambda + 3).
λ=−3,+1是特征值,其中λ=+1是三重特征值,λ=−3是单重特征值. \lambda = -3, +1是特征值,其中 \lambda = +1是三重特征值,\lambda = -3是单重特征值.
(2)λ=+1时,求其基础解系如下: (2) \lambda = +1时,求其基础解系如下:
α 1 =(1,1,0,0), \alpha_1 = (1, 1, 0, 0),
α 2 =(1,0,1,0), \alpha_2 = (1, 0, 1, 0),
α 3 =(−1,0,0,1). \alpha_3 = (-1, 0, 0, 1).
(3)该基础解系不正交，将其单位正交化: (3)该基础解系不正交，将其单位正交化:
β 1 =(12 √ ,12 √ ,0,0), \beta_1 = (\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0),
β 2 =(16 √ ,−16 √ ,26 √ ,0), \beta_2 = (\dfrac{1}{\sqrt{6}}, -\dfrac{1}{\sqrt{6}}, \dfrac{2}{\sqrt{6}}, 0),
β 3 =(−112 − − √ ,112 − − √ ,112 − − √ ,312 − − √ ). \beta_3 = (-\dfrac{1}{\sqrt{12}}, \dfrac{1}{\sqrt{12}}, \dfrac{1}{\sqrt{12}}, \dfrac{3}{\sqrt{12}}).
当λ=−3时,可得:β 4 =(12 ,−12 ,−12 ,12 ). 当\lambda = -3时,可得:\beta_4 = (\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}).
(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 )称为R 4 中的一组标准正交基. (\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4)称为R^4中的一组标准正交基.
在这组标准正交基下,矩阵A称为对角矩阵. 在这组标准正交基下,矩阵A称为对角矩阵.
A∼A 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 000−3 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ A \sim A_1 = \begin{pmatrix}1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
T=(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ) 4×4 T = (\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4)_{4 \times 4}
T −1 AT=A 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 000−3 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ T^{-1}AT = A_1 = \begin{pmatrix}1& 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
注1:在新的坐标系(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 )下，线性变换A有最简单的标准型. 注1:在新的坐标系(\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4)下，线性变换A有最简单的标准型.
注2：在每一个特征子空间上(新的坐标系对应的一维子空间上)，A作用的形式最简单的(放大、缩小特征值的倍数). 注2：在每一个特征子空间上(新的坐标系对应的一维子空间上)，\\ A作用的形式最简单的(放大、缩小特征值的倍数).
Aβ 1 =β 1 ,Aβ 2 =β 2 ,Aβ 3 =β 3 ,Aβ 4 =−3β 4 A\beta_1 = \beta_1, A \beta_2 = \beta_2, A\beta_3 = \beta_3, A \beta_4 = -3\beta_4
∀x ⃗ ∈R 4 ,在正交基e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 下,其中 \forall \vec x \in R^4, 在正交基e_1, e_2, e_3, e_4下,其中
e 1 =(1,0,0,0),e 2 =(0,1,0,0),e 3 =(0,0,1,0),e 4 =(0,0,0,1), e_1 = (1, 0, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0, 0), e_3 = (0, 0, 1, 0), e_4 = (0, 0, 0, 1),
x ⃗ =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +x 4 e 4 . \vec x = (x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4.
在空间构造一组新的正交基β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ,则 在空间构造一组新的正交基\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4,则
x ⃗ =(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 )=a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 ， \vec x = (a_1, a_2, a_3, a_4) = a_1 \beta_1 + a_2 \beta_2 + a_3 \beta_3 + a_4 \beta_4，
其中,a 1 =(x,β 1 ),a 2 =(x,β 2 ),a 3 =(x,β 3 ),a 4 =(x,β 4 ), 其中,a_1 = (x, \beta_1), a_2 = (x, \beta_2), a_3 = (x, \beta_3), a_4 = (x, \beta_4),
是x ⃗ 在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影,于是 是 \vec x 在 \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4上的投影,于是
Ax=A(a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 ) Ax = A(a_1 \beta_1 + a_2 \beta_2 + a_3 \beta_3 + a_4 \beta_4)
=a 1 Aβ 1 +a 2 Aβ 2 +a 3 Aβ 3 +a 4 Aβ 4 = a_1 A \beta_1 + a_2 A \beta_2 + a_3 A \beta_3 + a_4 A \beta_4
=a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 = a_1 \beta_1 + a_2 \beta_2 + a_3 \beta_3 + a_4 \beta_4
=y=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,−3a 4 ). = y = (a_1, a_2, a_3, -3 a_4).
矩阵A确定了一组正交基β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 , 矩阵A确定了一组正交基\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4,
∀x∈R 4 ,只要知道x在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ),则A作用的方式一目了然，即: \forall x \in R^4,只要知道x 在 \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4上的投影(a_1, a_2, a_3, a_4),\\ 则A作用的方式一目了然，即:
Ax=(λ 1 a 1 ,λ 2 a 2 ,λ 3 a 3 ,λ 4 a 4 )=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,−3a 4 ).(0.1.5) Ax = (\lambda_1 a_1, \lambda_2 a_2, \lambda_3 a_3, \lambda_4 a_4) = (a_1, a_2, a_3, -3 a_4). \quad (0.1.5)
注:A作用方式是由特征值、特征向量决定的. 注:A作用方式是由特征值、特征向量决定的.
P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 是在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影算子,则 P_1, P_2, P_3, P_4是在\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4上的投影算子,则
A=P 1 +P 2 +P 3 −3P 4 A = P_1 + P_2 + P_3 -3 P_4
=λ 1 P 1 +λ 2 P 2 +λ 3 P 3 +λ 4 P 4 = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 + \lambda_3 P_3 + \lambda_4 P_4
在这里λ 1 =λ 2 =λ 3 =1,λ 4 =−3. 在这里\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 1, \lambda_4 = -3.
线性变换A分解成4个投影变换(算子)的线性组合. 线性变换A分解成4个投影变换(算子)的线性组合.
数学处理问题的原则是把复杂问题简单化. 数学处理问题的原则是把复杂问题简单化.
把复杂问题转化为已知的简单问题来处理(化归) 把复杂问题转化为已知的简单问题来处理(化归)
例如:三元一次方程组 例如:三元一次方程组
⇒(代入消元)二元一次方程组 \Rightarrow (代入消元)二元一次方程组
⇒一元一次方程组:ax=b \Rightarrow 一元一次方程组: ax = b
当a≠0时有唯一解, 当a \neq 0时有唯一解,
当a=0,b≠0时无解, 当a = 0, b \neq 0时无解,
当a=0,b=0时有无穷多解. 当a = 0, b = 0时有无穷多解.
I.3无穷维空间的类比和联想 \color{blue}{I.3无穷维空间的类比和联想}
泛函分析要研究的对象是函数、运算。
微分、积分运算，它们作用的对象是函数，
微分、积分运算于R n R^n空间中线性变换A相比较，
相同之处：线性运算；
不同之处：A把一个n维向量变成n维(或m维向量)。微(积)分把一个函数映射成另一个函数。
函数不能用有限个数刻画，可能可以用无穷多个数刻画。
我们希望通过“类比和联想”，把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间(无穷维空间)。
这就要研究下面问题：
1.无穷维空间的几何结构，特别是：
(1)是否存在坐标系(e 1 ,⋯,c n ,⋯)? (e_1, \cdots, c_n, \cdots)?
(2)是否有正交性(e i ⊥e j ,i≠j)? (e_i \perp e_j, i \neq j)?
(3)无穷维空间中的原素x能不能分解?
x=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,⋯) x = (a_1, a_2, a_3, a_4, \cdots)
=a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 3 e 3 +a 4 e 4 +⋯. = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 + a_4 e_4 + \cdots.
∥x∥ 2 =∑ i |a i | 2 ?(0.1.6) \Vert x \Vert ^2 = \sum \limits _i |a_i|^2 ? \quad (0.1.6)
其中a i =(x,e i ),i=1,2,⋯(比较(0.1.2)、(0.1.4)式). 其中 a_i = (x, e_i), i = 1, 2, \cdots (比较(0.1.2)、(0.1.4)式).
2.线性算子的特征和结构:
(1)线性算子的性质(有没有对称算子?)
(2)线性算子T能不能分解?
A=P 1 +P 2 +P 3 −3P 4 ;（有限维) A = P_1 + P_2 + P_3 - 3P_4; （有限维)
T?=λ 1 P 1 +λ 2 P 2 +λ 3 P 3 +⋯(无穷维)(0.1.7) T ? = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 + \lambda_3 P_3 + \cdots (无穷维) \quad (0.1.7)
其中P 1 ,P 2 ,P 3 ,⋯是在e 1 ,e 2 ,e 3 ,⋯上的投影算子. 其中P_1, P_2, P_3, \cdots是在e_1, e_2, e_3, \cdots上的投影算子.
注:由于(0.1.7)式中有无穷项相加,于是存在是不是收敛的问题，如果收敛，是在什么意义下收敛？这将是我们在泛函分析中要十分关注的问题。
I.4无穷维空间的坐标分解 \color{blue}{I.4 无穷维空间的坐标分解}
为了考虑算子的分解，首先要研究函数的分解。函数可以用无穷多个数形成的数组来刻画。
例 0.1.3 Taylor展开.
如果函数满足很好的性质,则在它的收敛半径内，有
f(x)=f(0)+f ′ (0)x+f ′′ (0)2! x 2 +⋯+f (n) (0)n! x n +⋯ f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \dfrac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^2 + \cdots + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots
即:函数可以和一个可数无穷数列一一对应，
f(x)∼(f(0),f ′ (0)1! ,f ′′ (0)2! ,⋯,f (n) (0)n! ,⋯). f(x) \sim (f(0), \dfrac{f^{\prime}(0)}{1!}, \dfrac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}, \cdots, \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}, \cdots).
这和一个向量在n维空间的展开完全类似， 这和一个向量在n维空间的展开完全类似，
x ⃗ =x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +x 4 e 4 , \vec x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4,
x ⃗ =(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ). \vec x = (x_1, x_2, x_3, x_4).
区别在于(x 0 ,x 1 ,x 2 ,⋯,x n ,⋯)不是“正交系”. 区别在于(x^0, x^1, x^2, \cdots, x^n, \cdots)不是“正交系”.
下面我们熟知的Fourier展开就是一种在正交系中的展开。
例0.1.4 Fourier级数
f(x)=a 0 2 +∑ k=1 ∞ (a k coskx+b k sinkx), f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{\infty} (a_k \cos kx + b_k \sin kx),
其中a 0 2 =12π ∫ π −π f(x)dx,a k =1π ∫ π −π f(x)coskxdx,b k =1π ∫ π −π f(x)sinkxdx. 其中\dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx, a_k = \dfrac{1}{\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx, b_k = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin kx dx.
f(x)∼(a 0 2 ,a 1 ,b 1 ,⋯,a n ,b n ,⋯),f可以由这无穷多个数确定. f(x) \sim (\dfrac{a_0}{2}, a_1, b_1, \cdots, a_n, b_n, \cdots), f可以由这无穷多个数确定.
其坐标系为: 其坐标系为:
e 0 =12π − − √ ,e 1 =1π √ cosx,e 2 =1π √ sinx,e 3 =1π √ cos2x, e_0 = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}, e_1 = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, e_2 = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, e_3 = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} cos 2x,
e 4 =1π √ sin2x,⋯,e 2k−1 =1π √ coskx,e 2k =1π √ sinkx,⋯ e_4 = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin 2x, \cdots, e_{2k-1} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos kx, e_{2k} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin kx, \cdots
(a 0 2 ,a 1 ,b 1 ,⋯,a n ,b n ,⋯)为函数f在这个坐标系下的坐标. (\dfrac{a_0}{2}, a_1, b_1, \cdots, a_n, b_n, \cdots)为函数f在这个坐标系下的坐标.
类似于R n ,在函数空间L 2 (−π,π)上可以定义内积(f,g)=∫ π −π f(x)g(x)dx. 类似于R^n,在函数空间L^2(-\pi, \pi)上可以定义内积 (f, g) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx.
内积的定义可参阅3.3节命题3.3.9、定义3.3.10. 内积的定义可参阅3.3节命题3.3.9、定义3.3.10.
因为 因为
∫ π −π 1π √ cosnx⋅1π √ cosmxdx={0,n≠m,1,n=m. \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos nx \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos mx dx = \left \lbrace \begin{array}{l}0, n \neq m, \\ 1, n = m. \end{array} \right.
∫ π −π 1π √ sinnx⋅1π √ sinmxdx={0,n≠m,1,n=m \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin nx \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin mx dx = \left \lbrace \begin{array}{l}0, n \neq m,\\ 1, n = m \end{array} \right.
∫ π −π 1π √ cosnx⋅1π √ sinmxdx=0. \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos nx \cdot \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin mx dx = 0.
即∫ π −π e i e j dx=(e i ,e j )={0,i≠j,1,i=j. 即\int_{-\pi}^{\pi} e_i e_j dx = (e_i, e_j) = \left \lbrace \begin{array}{l}0, i \neq j,\\ 1, i = j. \end{array} \right.
所以{e i }形成空间中的一组标准正交基. 所以\lbrace e_i \rbrace 形成空间中的一组标准正交基.
对照：在R n 中，∀x∈R n ,有x=x 1 e 1 +x 2 e 2 +⋯+x n e n , 对照：在R^n中，\forall x \in R^n,有 x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_n e_n,
其中,x 1 =(x,e 1 ),x 2 =(x,e 2 ),⋯,x n =(x,e n ). 其中,x_1 = (x, e_1), x_2 = (x, e_2), \cdots, x_n = (x, e_n).
对于函数f,我们有:f(x)=a 0 2 e 0 +a 1 e 1 +b 1 e 2 +⋯+a k e 2k−1 +b k e 2k +⋯. 对于函数f, 我们有: f(x) = \dfrac{a_0}{2} e_0 + a_1 e_1 + b_1 e_2 + \cdots + a_k e_{2k-1} + b_k e_{2k} + \cdots.
是否成立:a 0 2 =(f,e 0 ), 是否成立:\dfrac{a_0}{2} = (f, e_0),
a 1 =(f,e 1 ),b 1 =(f,e 2 ),⋯, a_1 = (f, e_1), b_1 = (f, e_2), \cdots,
a k =(f,e 2k−1 ),b k =(f,e 2k ),⋯ a_k = (f, e_{2k-1}), b_k = (f, e_{2k}), \cdots
问题:系数是否等于(f,e i )? 问题:系数是否等于(f, e_i)?
我们有
a 0 2 =12π ∫ π −π f(x)dx=12π (f(x),1)=12π − − √ (f(x),12π − − √ ), \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \dfrac{1}{2 \pi} (f(x), 1) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}(f(x), \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}),
a k =1π ∫ π −π f(x)coskxdx=1π (f(x),coskx)=1π √ (f(x),1π √ coskx), a_k = \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx = \dfrac{1}{\pi}(f(x), \cos kx) = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}(f(x), \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos kx),
b k =1π √ (f(x),1π √ sinkx). b_k = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}(f(x), \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin kx).
并且
f(x)=a 0 2 +∑ k=1 ∞ (a k coskx+b k sinkx) f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{\infty}(a_k \cos kx + b_k \sin kx)
=(f(x),12π − − √ )12π − − √ +∑ k=1 ∞ [f(x),1π √ coskx)1π √ coskx+(f(x),1π √ sinkx)1π √ sinkx] = (f(x), \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}})\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum \limits_{k=1}^{\infty}[f(x), \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos kx) \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \cos kx + (f(x), \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin kx)\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sin kx]
=∑ k=0 ∞ (f,e k )e k . = \sum \limits_{k=0}^{\infty} (f, e_k) e_k.
即:(1)在函数空间建立了一个正交坐标系. 即:(1)在函数空间建立了一个正交坐标系.
(2)每一个函数和一组(可数的)数一一对应. (2)每一个函数和一组(可数的)数一一对应.
f(x)=∑ k=1 ∞ (f,e k )e k , f(x) = \sum \limits _{k=1}^{\infty}(f, e_k)e_k,
其中系数是f(x)和e k 的内积,即f(x)在e k 上的投影. 其中系数是f(x)和e_k的内积,即f(x)在e_k上的投影.
对照:x=∑ k=1 n (x,e k )e k ,x∈R n . 对照:x = \sum \limits_{k=1}^{n} (x, e_k)e_k, x \in R^n.
|x| 2 =∑ k=1 n |(x,e k )| 2 . |x|^2 = \sum \limits_{k=1}^{n} |(x, e_k)|^2.
二者之间的区别是什么? 二者之间的区别是什么?
R n 是有限维空间,而函数空间是无穷维的. R^n是有限维空间,而函数空间是无穷维的.
无穷维求和是一个极限过程. 无穷维求和是一个极限过程.
f(x)=(?)lim n→∞ ∑ k=1 n (f,e k )e k . f(x) = (?) \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n}(f, e_k) e_k.
∥f(x)∥ 2 =(?)lim n→∞ ∑ k=1 n |(f,e k )| 2 \Vert f(x) \Vert ^2 = (?) \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} | (f, e_k) |^2
我们需要考虑 我们需要考虑
函数项级数(Fourier级数)是否收敛的问题. 函数项级数(Fourier级数)是否收敛的问题.
如果收敛，在什么意义下收敛? 如果收敛，在什么意义下收敛?
f(x)=(?)lim n→∞ ∑ k=1 n (f,e k )e k , f(x) = (?) \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} (f, e_k) e_k,
根据数学分析,我们有: 根据数学分析,我们有:
f(x)逐段可微,则其Fourier级数收敛,且收敛到 f(x) 逐段可微,则其Fourier级数收敛,且收敛到
f(x+0)+f(x−0)2 (逐点收敛). \dfrac{f(x+0) + f(x-0)}{2}(逐点收敛).
我们要在无穷维空间研究收敛性(在什么意义下收敛), 我们要在无穷维空间研究收敛性(在什么意义下收敛),
即要引进极限等概念. 即要引进极限等概念.
在Fourier级数中,有Riemann引理 在Fourier级数中,有Riemann引理
lim n→∞ ∫ π −π f(x)cosnxdx=0, \lim \limits_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx = 0,
lim n→∞ ∫ π −π f(x)sinnxdx=0, \lim \limits_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx = 0,
即:lim n→∞ (f(x),e k )=0,∀f(x). 即: \lim \limits _{n \to \infty} (f(x), e_k) = 0, \forall f(x).
以后我们将看到这是e k 弱收敛到0. 以后我们将看到这是e_k弱收敛到0.
注:从上述几个例子中可以看到,要考虑和研究: 注:从上述几个例子中可以看到,要考虑和研究:
(1)空间的概念(无穷维空间); (1)空间的概念(无穷维空间);
(2)空间的结构:距离，长度，内积; (2)空间的结构:距离，长度，内积;
(3)空间中的收敛性(强,弱,一致收敛等). (3)空间中的收敛性(强,弱,一致收敛等).
这是泛函分析研究的一些重点. 这是泛函分析研究的一些重点.
I.5无穷维空间线性算子与坐标系 \color{blue}{I.5无穷维空间线性算子与坐标系}
我们再把无穷维空间的线性算子(微分运算)与有限维空间的线性算子相对照,进而研究线性算子的分解问题. 我们再把无穷维空间的线性算子(微分运算)与有限维空间的线性算子相对照,\\ 进而研究线性算子的分解问题.
A=(a ij ) n×n ⇒特征值⇒特征向量 A = (a_{ij})_{n \times n} \Rightarrow 特征值 \Rightarrow 特征向量
⇒由它的特征向量产生一个正交坐标系 \Rightarrow 由它的特征向量产生一个正交坐标系
⇒A在这个正交坐标系下成为对角矩阵. \Rightarrow A在这个正交坐标系下成为对角矩阵.
不同的对称矩阵可以产生不同的正交系. 不同的对称矩阵可以产生不同的正交系.
问题:在Fourier级数展开中,这个正交坐标系 问题:在Fourier级数展开中,这个正交坐标系
(1,cosx,sinx,⋯,cosks,sinks,⋯) (1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos ks, \sin ks, \cdots)
是否也可以是一些运算(算子)的特征函数? 是否也可以是一些运算(算子)的特征函数?
例0.1.5Sturm−Liouville问题 例0.1.5 Sturm-Liouville问题
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ −y ′′ (t)=λy(t),y(−π)=y(π),y ′ (−π)=y ′ (π). −π≤t≤π. \left \lbrace \begin{array}{l} -y^{\prime \prime}(t) = \lambda y(t), \\ y(-\pi) = y(\pi), \\ y^{\prime}(-\pi) = y^{\prime}(\pi). \end{array} \right. \quad -\pi \leq t \leq \pi.
这是一个二阶的常微分方程,加上两个边界条件(周期边界条件)限制. 这是一个二阶的常微分方程,加上两个边界条件(周期边界条件)限制.
微分是一种运算,边界条件给出了它的定义域. 微分是一种运算,边界条件给出了它的定义域.
注:把Ty=−y ′′ 看成一种运算,边界条件对运算的定义域加以适当的限制, 注:把Ty = -y^{\prime \prime} 看成一种运算,边界条件对运算的定义域加以适当的限制,
使之成为一个“对称”算子. 使之成为一个“对称”算子.
这样Sturm−Liouville(S−L)问题Ty=λy与Ax=λx形式上相似. 这样Sturm-Liouville(S-L)问题Ty = \lambda y 与 Ax = \lambda x 形式上相似.
因为要满足边界条件,不是对于所有λ,S−L问题都有解. 因为要满足边界条件,不是对于所有\lambda,S-L问题都有解.
有解的那些λ,成为S−L问题的特征值. 有解的那些\lambda, 成为S-L问题的特征值.
我们猜想: 我们猜想:
S−L算子T: S-L算子T:
是否有可数多个特征值; 是否有可数多个特征值;
不同特征值对应的特征函数是否相互正交. 不同特征值对应的特征函数是否相互正交.
求出通解. 求出通解.
(a)当λ>0时,y(t)=Acosλ √ t+Bsinλ √ t, (a)当\lambda > 0时, y(t) = A\cos \sqrt{\lambda} t + B \sin \sqrt{\lambda} t,
代入边界条件y(−π)=y(π),则有 代入边界条件y(-\pi) = y(\pi),则有
Acosλ √ π−Bsinλ √ π=Acosλ √ π+Bsinλ √ π⇒2Bsinλ √ π=0 A \cos \sqrt{\lambda} \pi - B \sin \sqrt{\lambda} \pi = A \cos \sqrt{\lambda} \pi + B \sin \sqrt{\lambda} \pi \Rightarrow 2 B \sin \sqrt{\lambda} \pi = 0
再代入边界条件y ′ (−π)=y ′ (π),有 再代入边界条件 y^{\prime}(-\pi) = y^{\prime}(\pi),有
−Aλ √ sinλ √ π+Bλ √ cosλ √ π -A \sqrt{\lambda} \sin \sqrt{\lambda} \pi + B \sqrt{\lambda} \cos \sqrt{\lambda} \pi
=Aλ √ sinλ √ π+Bλ √ cosλ √ π = A \sqrt{\lambda} \sin \sqrt{\lambda} \pi + B \sqrt{\lambda} \cos \sqrt{\lambda} \pi
⇒Aλ √ sinλ √ π=0. \Rightarrow A \sqrt{\lambda} \sin \sqrt{\lambda} \pi = 0.
由于λ>0,A,B不同时为零⇒sinλ √ π=0. 由于 \lambda > 0, A, B不同时为零 \Rightarrow \sin \sqrt{\lambda} \pi = 0.
所以λ n =n 2 (n=1,2,⋯)时,满足两个边界条件. 所以 \lambda_n = n^2(n = 1, 2, \cdots)时,满足两个边界条件.
(b)当λ=0时,−y ′′ =0,求出y≡1,满足边界条件. (b) 当\lambda = 0时, -y^{\prime \prime} = 0, 求出 y \equiv 1, 满足边界条件.
(c)当λ<0时,求出方程的解:y=Ce ±−λ √ t 不满足周期边界条件. (c) 当\lambda
所以特征值为:{λ n }={0,1 2 ,2 2 ,⋯,n 2 ,⋯}. 所以特征值为:\lbrace \lambda_n \rbrace = \lbrace 0, 1^2, 2^2, \cdots, n^2, \cdots \rbrace.
把Ty=−y ′′ 看成一种运算,对应的特征函数为 把T y = -y^{\prime \prime}看成一种运算, 对应的特征函数为
{e n }={1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,cosnx,sinnx,⋯}. \lbrace e_n \rbrace = \lbrace 1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \cdots, \cos nx, \sin nx, \cdots \rbrace.
注1:这正是Fourier展开中的正交坐标系(乘以系数可使之单位化). 注1:这正是Fourier展开中的正交坐标系(乘以系数可使之单位化).
注2:把Ty=−y ′′ 看成一种运算(自共轭(对称)算子). 注2:把T y = - y^{\prime \prime} 看成一种运算(自共轭(对称)算子).
把Ty n =λ n y n 与Ay n =λ n y n 相对比; 把T y_n = \lambda_n y_n 与 A y_n = \lambda_n y_n 相对比;
我们有: 我们有:
A=λ 1 P 1 +⋯+λ n P n ;(有限维) A = \lambda_1 P_1 + \cdots + \lambda_n P_n; (有限维)
T=(?)λ 1 P 1 +⋯+λ n P n +⋯(无穷维) T = (?) \lambda_1 P_1 + \cdots + \lambda_n P_n + \cdots (无穷维)
P i 是其在特征元素上的投影算子 P_i是其在特征元素上的投影算子
⇒无穷维空间上线性算子的一种分解(谱分解). \Rightarrow 无穷维空间上线性算子的一种分解(谱分解).
注3:我们希望,在新的函数空间下,函数f可以分解为 注3:我们希望,在新的函数空间下,函数f可以分解为
f(x)=∑ i=1 ∞ (f,e i )e i .(0.1.8) f(x) = \sum \limits_{i=1}^{\infty} (f, e_i) e_i. \quad (0.1.8)
因为e i 是T关于λ的特征函数,Te i =λ i e i ， 因为e_i是T关于\lambda的特征函数,Te_i = \lambda_i e_i，
所以S−L算子T作用在f上,是否可以有: 所以S-L算子T作用在f上,是否可以有:
Tf=T∑ i=1 ∞ (f,e i )e i =(?)∑ i=1 ∞ (f,e i )Te i =∑ i=1 ∞ (f,e i )λ i e i .(0.1.9) T f = T \sum \limits_{i=1}^{\infty} (f, e_i) e_i = (?) \sum \limits_{i=1}^{\infty} (f, e_i) T e_i = \sum \limits_{i=1}^{\infty}(f, e_i) \lambda_i e_i. \quad (0.1.9)
这里有个运算交换顺序的问题. 这里有个运算交换顺序的问题.
在有限维空间,可以有不同的正交系(它们可以由不同的对称矩阵产生), 在有限维空间,可以有不同的正交系(它们可以由不同的对称矩阵产生),
在无穷维空间是否也可以有不同的正交系,它们可以由不同的算子产生? 在无穷维空间是否也可以有不同的正交系,它们可以由不同的算子产生?
答案是肯定的. 答案是肯定的.
例0.1.6Legendre多项式.考虑Legendre方程 例0.1.6 Legendre多项式.考虑Legendre方程
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ −(1−x 2 )y ′′ +2xy ′ =λy,(−1<x<1)y(1)<∞,y(−1)<∞. \left \lbrace \begin{array}{l}-(1-x^2) y^{\prime \prime} + 2x y^{\prime} = \lambda y, (-1
方程可以化为:−ddx ((1−x 2 )y ′ )=λy. 方程可以化为: -\dfrac{d}{dx}((1-x^2) y^{\prime}) = \lambda y.
它是对称的微分算子.可以求出特征值为λ n =n(n+1), 它是对称的微分算子.可以求出特征值为\lambda_n = n(n+1),
特征函数为y n =d n dx n (x 2 −1) n . 特征函数为y_n = \dfrac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n.
且满足∫ 1 −1 y n (x)y m (x)dx=0(m≠n). 且满足\int_{-1}^{1} y_n(x) y_m(x) dx = 0 (m \neq n).
它们是L 2 [−1,1]上的正交系(对称线性算子的特征函数系).其中 它们是L^2[-1, 1]上的正交系(对称线性算子的特征函数系).其中
y 0 (x)=1,y 3 (x)=12 (5x 3 −3x), y_0(x) = 1, y_3(x) = \dfrac{1}{2}(5x^3 - 3x),
y 1 (x)=x,y 4 (x)=18 (35x 4 −30x+3), y_1(x) = x, y_4(x) = \dfrac{1}{8}(35x^4 - 30x + 3),
y 2 (x)=12 (3x 2 −1),y 5 (x)=18 (63x 5 −70x 3 +15x), y_2(x) = \dfrac{1}{2}(3x^2-1), y_5(x) = \dfrac{1}{8}(63x^5 - 70x^3 + 15x),
⋯ \cdots
Legendre(勒让德)多项式图:
I.6无穷维空间线性算子性质的差别 \color{blue}{I.6 无穷维空间线性算子性质的差别}
微分和积分是高等数学研究的主要对象. 微分和积分是高等数学研究的主要对象.
共同点:它们都是线性运算; 共同点:它们都是线性运算;
不同点:粗略地说微分可能把函数“放大”,积分可能把函数“变小”. 不同点:粗略地说微分可能把函数“放大”,积分可能把函数“变小”.
例如:考虑函数:y=x n ,x∈[0,1]. 例如:考虑函数: y = x^n, x \in [0, 1].
ddx (x n )=nx n−1 ; \dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1};
∫x n dx=1n+1 x n+1 . \int x^n dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}.
从下面的例子中我们看到它们的运算性质的不同: 从下面的例子中我们看到它们的运算性质的不同:
例0.1.7设函数项级数∑ n=1 ∞ u n (x)满足: 例0.1.7 设函数项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 满足:
(1)u n (x)(n=1,2,⋯)在[a,b]连续; (1)u_n(x) (n = 1, 2, \cdots)在[a, b]连续;
(2)∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上一致收敛到S(x); (2)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)在[a, b]上一致收敛到S(x);
则S(x)=∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]可积,且 则S(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在[a, b]可积,且
∫ b a S(x)dx=∫ b a ∑ n=1 ∞ u n (x)dx=∑ n=1 ∞ ∫ b a u n (x)dx.(0.1.10) \int_a^b S(x) dx = \int_a^b \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) dx = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) dx. \quad (0.1.10)
即在一致收敛的条件下,积分运算可以与无穷级数运算交换顺序. 即在一致收敛的条件下,积分运算可以与无穷级数运算交换顺序.
例0.1.8设函数项级数∑ n=1 ∞ u n (x)满足: 例0.1.8 设函数项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 满足:
(1)u n (x)(n=1,2,⋯)在[a,b]连续可导; (1) u_n(x) (n = 1, 2, \cdots)在[a, b]连续可导;
(2)∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上点点收敛到S(x); (2) \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在[a, b]上点点收敛到 S(x);
(3)∑ n=1 ∞ u ′ n (x)在[a,b]上一致收敛到σ(x); (3) \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x) 在[a, b]上一致收敛到 \sigma(x);
(由此可推出∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]上一致收敛到S(x)); (由此可推出\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在 [a, b] 上一致收敛到 S(x));
则S(x)=∑ n=1 ∞ u n (x)在[a,b]可导,且 则S(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在[a, b]可导,且
ddx S(x)=ddx ∑ n=1 ∞ u n (x)=∑ n=1 ∞ ddx u n (x).(0.1.11) \dfrac{d}{dx} S(x) = \dfrac{d}{dx} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) = \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{d}{dx} u_n(x) . \quad (0.1.11)
即求导运算可以与无穷级数运算交换顺序. 即求导运算可以与无穷级数运算交换顺序.
但是微分与级数运算交换顺序比积分与级数运算交换顺序多了一个条件(3). 但是微分与级数运算交换顺序比积分与级数运算交换顺序多了一个条件(3).
以后我们看到积分算子是有界(连续)线性算子; 以后我们看到积分算子是有界(连续)线性算子;
微分算子是无界线性算子,但它是闭算子. 微分算子是无界线性算子,但它是闭算子.
有界线性算子与无界线性算子运算性质有很大差别. 有界线性算子与无界线性算子运算性质有很大差别.
上述数学分析、线性代数、微分方程的一些例子中,在处理问题上有许多相似的方法,包括: 上述数学分析、线性代数、微分方程的一些例子中,在处理问题上有许多相似的方法,包括:
问题和元素更一般化(抽象化),空间中的元素(向量)可以是函数或运算(矩阵运算、微分运算、积分运算、级数(极限)运算.) 问题和元素更一般化(抽象化),空间中的元素(向量)可以是函数或运算\\ (矩阵运算、微分运算、积分运算、级数(极限)运算.)
建立一种空间的框架,把元素(可以是函数或运算)进行坐标分解.我们希望通过类比等方法把它们推广到(结果可能有差异)泛函分析的研究中去. 建立一种空间的框架,把元素(可以是函数或运算)进行坐标分解.我们希望通过类比\\ 等方法把它们推广到(结果可能有差异)泛函分析的研究中去.
应用几何、代数和分析的综合手段研究解决问题，研究无限维线性空间上的泛函和算子理论. 应用几何、代数和分析的综合手段研究解决问题，研究无限维线性空间上的泛函和算子理论.
这正是我们下面要研究的泛函分析的主要内容. 这正是我们下面要研究的泛函分析的主要内容.
本书主要内容: 本书主要内容:
(1)首先引入空间、极限这些概念，讨论它们的性质. (1) 首先引入空间、极限这些概念，讨论它们的性质.
包括距离空间;线性赋范空间;内积空间 包括距离空间;线性赋范空间;内积空间
(2)研究线性算子(线性算子空间)的性质. (2)研究线性算子(线性算子空间)的性质.
包括有界线性算子、有界线性算子的重要性质;共轭空间;特别是Hilbert空间的共轭空间和共轭算子. 包括有界线性算子、有界线性算子的重要性质;共轭空间;特别是Hilbert空间的共轭空间和共轭算子.
主要定理包括: 主要定理包括:
一致有界原则; 一致有界原则;
开映射定理、逆算子定理; 开映射定理、逆算子定理;
闭图像定理; 闭图像定理;
线性泛函的延拓定理(Hahn−Banach定理) 线性泛函的延拓定理(Hahn-Banach定理)
这是最核心也是最难的部分.
(3)线性算子的谱理论 (3)线性算子的谱理论
谱分解从结构上展示线性算子的基本运算特征, 谱分解从结构上展示线性算子的基本运算特征,
特别是紧的自共轭算子的谱分解和有限维空间对称矩阵的分解十分相似. 特别是紧的自共轭算子的谱分解和有限维空间对称矩阵的分解十分相似.
目标: 目标:
(1)理解为什么会有泛函分析,明白泛函分析在做什么; (1)理解为什么会有泛函分析,明白泛函分析在做什么;
最基本的概念(概念的来源和背景); 最基本的概念(概念的来源和背景);
数学研究的基本方法:化归、类比、归纳、联想; 数学研究的基本方法:化归、类比、归纳、联想;
一定的抽象思维能力;概念清楚，思维清晰 一定的抽象思维能力;概念清楚，思维清晰
(2)努力感悟数学的美学结构. (2)努力感悟数学的美学结构.
结束语: 结束语:
1.把数学看成客观世界的简单化. 1.把数学看成客观世界的简单化.
2.从整体上了解数学,才能培养良好的数学素质. 2.从整体上了解数学,才能培养良好的数学素质.
3.从具体事例中感悟数学的思想方法. 3.从具体事例中感悟数学的思想方法.
泛函分析 01.01 距离空间-绪论相关推荐
- 【330天】跃迁之路——程序员高效学习方法论探索系列（实验阶段88-2018.01.01）...
实验说明 从2017.10.6起,开启这个系列,目标只有一个:通过探索新的学习方法,用2年的时间,实现2.5倍速的成长,获得普通程序员>= 5年的技术水平. 实验期2年(2017.10.06 - ...
- 面试题 01.01. 判定字符是否唯一 (计数排序思想)
面试题 01.01. 判定字符是否唯一 题意:输入一个字符串(ASCII),判断该字符串中是否有重复的字符 解法1:遍历字符串,将每一个字符转为ASCII码映射到一个数组对应的下标,记录字符出现的次数 ...
- DAVINCI DM365-DM368开发攻略—U-boot-2010.12-rc2-psp03.01.01.39及UBL的移植 .
转载:http://blog.csdn.net/olei_oleitao/article/details/7919307 一.DM36X的BOOT过程介绍 DM36x的BOOT过程和DM6446.DM ...
- DAVINCI DM365-DM368开发攻略—U-boot-2010.12-rc2-psp03.01.01.39及UBL的移植
从盛夏走到深秋,我们继续DAVINCI DM365-DM368的开发.说来惭愧,人家51CTO热情支持本博客,而本人却一直没有像其他博客之星一样频繁更新博客,心里确实说不过去.管理公司确实很累,有更急 ...
- java中正则表达式校验日期，1999-01-01 ，1991\01\01,-分割和\分割两种形式
今天写代码,我需要校验日期格式,传入的日期是1991\01\01这种类型的. 我百度出来的是1999-01-01 形式的: ^\d{4}-\d{1,2}-\d{1,2} 本来我想着-换成\就行了,这样 ...
- (二)u-boot2013.01.01 for TQ210：《Makefile分析》
当时写的时候看的是2012-10版本的,但是略对比了一遍和2013.01.01没什么改动,所以这不影响对2013.01.01版本的makefile的理解.本文比较侧重于语法句意的分析,框 ...
- C#学习笔记 01.01
C#学习笔记 01.01 (学习视频来自bilibili的传智播客赵老师基础教学视频) 服务器与客户端的区别 服务器其实本质上还是一个电脑,只是加装了很多的硬盘,从而实现对数据的大规模存储. 而客户端 ...
- 【EMC电磁兼容】01.01——缘由及认证
[EMC电磁兼容]01.01 缘由 EMC认证要求 缘由 提出电磁兼容最初是为了保护广播.电视等无线电通信业务的正常工作. 对于现在而言,要求设备如何设计可以达到电磁兼容,既不会影响到其他设备(EMI ...
- (一)u-boot2013.01.01 for TQ210：《Uboot简介》
一直想写一个s5pv210硬件平台的u-boot的移植文档,但一直都忙着没时间写.先写一些u-boot的脚本分析吧,包括makefile,mkconfig,config.mk,主要侧重于语法句意的分析 ...
- 泛函分析 01.04 距离空间-闭集、可分性、列紧性
§1.3闭集.可分性.列紧性 \color{blue}{\S 1.3 闭集.可分性.列紧性} 1.3.1距离空间的闭集 \color{blue}{1.3.1 距离空间的闭集} 内容:闭集的定义及性质. ...
最新文章
- 比杠精网友更可怕的，是懂王同事
- 黑马程序员 - 接口、内部类和异常
- 参考文献找不全页码？
- Where Should an Architect Begin?--reference
- 不要一辈子靠技术生存!!
- 图解分布式架构的演进过程！
- c语言编译错误 原文,C语言常见错误与警告
- 论文浅尝 | GMNN: Graph Markov Neural Networks
- 教你用SingalR实现后台开发程序运行时时检测
- 2019牛客多校第四场 I题 后缀自动机_后缀数组_求两个串de公共子串的种类数
- html搜索框代码_解放双手 | 10行Python代码实现一款网页自动化工具
- 安阳学院有几次计算机考试,安阳：2017年上半年全国计算机等级考试顺利结束...
- .Net中常用的几种ActionResult
- 数字图像处理学习 matable
- 使用 aspose 框架实现ex转pdf，图片。word转pdf，图片。pdf转图片
- [CAN] CAN BUS的错误检测和错误状态管理
- ARM-linux开发板网线连接电脑访问外网
- 怎么注册tk域名_TK后缀免费顶级域名注册（附教程）
- c语言中合法整型常量负号,C语言中整型常量的表示方法
- JavaScript节点操作、删除节点