自同构黎曼度量莫比乌斯变换

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黎曼球面可以显示为三维实空间中的单位球面x² + y² + z² = 1.为此，考虑从单位球减去一点(0,0,1)到（赤道）平面z = 0的球极投影，可以将该平面等同于复平面ζ = x + iy.在笛卡尔坐标系(x,y,z)和球面坐标系(φ,θ)中（其中φ为天顶角而θ为方位角)，该投影为

类似的，从(0,0, − 1)到z = 0平面的球极投影将另一份复平面ξ = x − iy等同于赤道平面，记为

(两份复平面和平面z = 0的对应方式不同。必须使用定向翻转来保证球面上定向的一致性，实际上复共轭使得变换映射成为全纯函数。）ζ-坐标和ξ-坐标之间的变换函数可以通过将其中一个映射和另一个的逆的复合得到。它们就是如上所述的ζ = 1 / ξ和ξ = 1 / ζ。因此单位球面和黎曼球面微分同胚。

在这个微分同胚下，ζ-图中的单位圆，ξ-图中的单位圆，以及单位球面的赤道可以等同起来。单位圆盘 | ζ | < 1和南半球面z < 0，单位圆盘 | ξ | < 1和北半球面z > 0分别等同。

黎曼曲面没有特定的黎曼度量。但是，黎曼曲面的复结构的确在共形等价下确定了唯一的度量。（两个度量称为共形等价，如果他们的区别只是一个正光滑函数的因子。）反过来，可定向曲面上的任意度量唯一的决定一个复结构，该结构在共形等价下依赖于该度量。因此可定向曲面的复结构和该曲面上的度量的共形类有一一对应。

给定共形类，可以用共形对称性找到一个有合适属性的代表度量。精确地讲，每个共形类总是有一个常曲率完备度量。

在黎曼球面的情况，高斯-博内定理表明常曲率度量必须有正的曲率K。因而该度量必须通过球极投影等度于中半径为的球面。对于黎曼球面上的ζ-图，K = 1度量可以给出如下：

在实坐标ζ = u + iv中，该公式为：

除了一个常数因子，该度量和复射影空间（黎曼球面就是一个特例）中的富比尼-施图迪度量一样。

反过来，令S代表（作为微分流形或者拓扑流形的）球面。按照单值化定理，存在唯一的S上的复结构。由此可见，S上的度量和球面度量共形等价。所有这样的度量构成一个共形类。因此"圆球"度量不是黎曼球面的内在度量，因为"圆形"并不是共形几何的不变量。黎曼球面只是一个共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圆形度量是一个很自然的选择。

[编辑] 自同构

作用于球面上以及作用于球极投影的平面上的莫比乌斯变换。主条目：莫比乌斯变换
理解数学对象的自同构群有助于对该对象的研究，自同构也就是对象到自身保持其基本结构不变的映射。对于黎曼球面，自同构就是黎曼球面到自身的可逆双全纯映射。唯一可能的这样的映射只有莫比乌斯变换。这些变换有如下形式：

其中a、b、c、和d为复数，满足.莫比乌斯变换的例子包括膨胀，旋转，平移，和复倒数。事实上，所有莫比乌斯变换可以有这些特例的复合得到。

将莫比乌斯变换视作复射影线上的变换很有益。在射影坐标下，变换f可以写作

这样，莫比乌斯变换可以表述为行列式非零的复矩阵；两个矩阵产生同样的莫比乌斯变换当且仅当他们只差一个非零常数。这样莫比乌斯边喊恰好对应于射影线性变换.

如果赋予黎曼球面富比尼-施图迪度量，则不是所有的莫比乌斯变换是等度的；例如膨胀和平移就不是。等度变换构成的一个子群，也即PSU2.该子群同构于旋转群SO(3)，它是单位球在中的等度群。

[编辑] 应用
复分析中，复平面（或者任何黎曼曲面）上的的亚纯函数是两个全纯函数f和g的比值f / g.作为到复数的映射，任何g为零的地方，它就没有定义。但是，它引出了一个全纯映射(f,g)到复射影线，甚至在g = 0处也有定义。这个构造对于研究全纯和亚纯函数很有用。例如，紧致黎曼曲面上不存在存在非常数复值全纯映射，但是有很多到复射影线上的全纯映射。

黎曼球面有很多物理中的应用。量子力学中，复射影线上的点是光子极化态，自旋为1/2的重亚原子粒子和一般二态粒子的的自旋态的自然取值。黎曼球面被推荐为天体球面的广义相对论模型。弦论中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作为最简单的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理论中也很重要。

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