深度搜索(DFS) 和广度搜索(BFS)

DFS/BFS

深度搜索(DFS)
- 深度搜索思路：`回溯 + 剪枝`
- 基本思路
- 深度搜索模板
- 深度搜索经典例题：【排列数字】
- 深度搜索经典例题：【n-皇后问题】
广度搜索(BFS)
- 深度搜索简介
- 基本思路
- 深度搜索经典例题：【走迷宫——边的权值相同】

深度搜索(DFS)

深度搜索思路：`回溯 + 剪枝`

深度优先搜索属于图算法的一种，英文缩写为DFS即Depth First Search.其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个节点只能访问一次.

举例说明之：下图是一个无向图，如果我们从A点发起深度优先搜索（以下的访问次序并不是唯一的，第二个点既可以是B也可以是C,D），则我们可能得到如下的一个访问过程：A->B->E（没有路了！回溯到A)->C->F->H->G->D（没有路，最终回溯到A,A也没有未访问的相邻节点，本次搜索结束）.简要说明深度优先搜索的特点：每次深度优先搜索的结果必然是图的一个连通分量.深度优先搜索可以从多点发起.如果将每个节点在深度优先搜索过程中的"结束时间"排序（具体做法是创建一个list，然后在每个节点的相邻节点都已被访问的情况下，将该节点加入list结尾，然后逆转整个链表)，则我们可以得到所谓的"拓扑排序",即topological
sort.

基本思路

深度优先遍历图的方法是，从图中某顶点v出发：
（1）访问顶点v；
（2）依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；
（3）若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。　当然，当人们刚刚掌握深度优先搜索的时候常常用它来走迷宫.事实上我们还有别的方法，那就是广度优先搜索(BFS).

（1）对于下面的树而言，DFS方法首先从根节点1开始，其搜索节点顺序是1,2,3,4,5,6,7,8（假定左分枝和右分枝中优先选择左分枝）。

（2）从stack中访问栈顶的点；

（3）找出与此点邻接的且尚未遍历的点，进行标记，然后放入stack中，依次进行；

（4）如果此点没有尚未遍历的邻接点，则将此点从stack中弹出，再按照（3）依次进行；

（5）直到遍历完整个树，stack里的元素都将弹出，最后栈为空，DFS遍历完成。

深度搜索模板

int check(参数)
{if(满足条件)return 1;return 0;
}void dfs(int step)
{判断边界if{到达边界时的操作（输出等）}未到边界时尝试每一种可能else{满足check条件 if{标记继续下一步 : dfs(step+1)恢复初始状态}};
}

深度搜索经典例题：【排列数字】

原题链接

给定一个整数 n，将数字 1∼n 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式
共一行，包含一个整数 n。

输出格式
按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围
1≤n≤71≤n≤71≤n≤7
输入样例：

输出样例：

题目答案：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
int path[N];
bool vis[N];
int n;
void dfs(int x){if(x > n){for (int i = 1; i <= n; ++i) cout<<path[i]<<" ";puts("");return;}else{for (int i = 1; i <= n; ++i) {if(!vis[i]){path[x] = i;vis[i] = true;dfs(x+1);vis[i] = false;}}}
}int main() {cin>>n;dfs(1);return 0;
}

深度搜索经典例题：【n-皇后问题】

原题链接
n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。每个方案输出完成后，输出一个空行。注意：行末不能有多余空格。输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围
1≤n≤91≤n≤91≤n≤9
输入样例：

输出样例：

.Q..
...Q
Q...
..Q...Q.
Q...
...Q
.Q..

（DFS按行枚举）时间复杂度 O(n!)O(n!)O(n!)
代码分析

对角线 dg[u+i]dg[u+i]dg[u+i]，反对角线udg[n−u+i]udg[n−u+i]udg[n−u+i]中的下标 u+iu+iu+i和 n−u+in−u+in−u+i 表示的是截距

下面分析中的 (x,y)(x,y)(x,y) 相当于上面的 (u,i)(u,i)(u,i)
反对角线 y=x+by=x+by=x+b, 截距 b=y−xb=y−xb=y−x，因为我们要把 b 当做数组下标来用，显然 b 不能是负的，所以我们加上 +n（实际上+n+4,+2n都行），来保证是结果是正的，即 y−x+ny - x + ny−x+n
而对角线 y=−x+by=−x+by=−x+b, 截距是 b=y+xb=y+xb=y+x，这里截距一定是正的，所以不需要加偏移量
核心目的：找一些合法的下标来表示 dgdgdg 或 udgudgudg 是否被标记过，所以如果你愿意，你取 udg[n+n−u+i]udg[n+n−u+i]udg[n+n−u+i] 也可以，只要所有 (u,i)(u,i)(u,i) 对可以映射过去就行

题目答案：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 100;
char g[N][N];  // g[N][N]用来存路径
// bool数组用来判断搜索的下一个位置是否可行
bool col[N],dg[N],udg[N]; // g[N][N]用来存路径
int n;void dfs(int x){// u == n 表示已经搜了n行，故输出这条路径if(x == n){for (int i = 0; i < n; ++i) puts(g[i]); // 等价于cout << g[i] << endl;puts(""); // 换行return;}else{for (int i = 0; i < n; ++i) {// 剪枝(对于不满足要求的点，不再继续往下搜索)// udg[n - u + i]，+n是为了保证下标非负if(!col[i] && !dg[x+i] && !udg[n-x+i]){g[x][i] = 'Q';col[i] = dg[x+i] = udg[n-x+i] = true;dfs(x+1);g[x][i] = '.';col[i] = dg[x+i] = udg[n-x+i] = false;// 恢复现场 这步很关键}}}}
int main() {cin>>n;for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {g[i][j] = '.';}}dfs(0);return 0;
}

广度搜索(BFS)

深度搜索简介

广度优先搜索（也称宽度优先搜索，缩写BFS，以下采用广度来描述）是连通图的一种遍历算法这一算法也是很多重要的图的算法的原型。Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。基本过程，BFS是从根节点开始，沿着树(图)的宽度遍历树(图)的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。一般用队列数据结构来辅助实现BFS算法。

基本思路

（1）给出一连通图，如图，初始化全是白色（未访问）；

（2）搜索起点V1（灰色）；

（3）已搜索V1（黑色），即将搜索V2，V3，V4（标灰）；

（4）对V2，V3，V4重复以上操作；

（5）直到终点V7被染灰，终止；

（6）最短路径为V1，V4，V7.

深度搜索经典例题：【走迷宫——边的权值相同】

给定一个 n∗mn*mn∗m 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0 或 1，其中 0 表示可以走的路，1 表示不可通过的墙壁。
最初，有一个人位于左上角 (1,1)(1, 1)(1,1)处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。
请问，该人从左上角移动至右下角 (n,m)(n, m)(n,m) 处，至少需要移动多少次。
据保证 (1,1)(1, 1)(1,1) 处和 (n,m)(n, m)(n,m) 处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。

输入格式

第一行包含两个整数n和m。
接下来n行，每行包含m个整数（0或1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式

输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围

1≤n,m≤1001≤n,m≤1001≤n,m≤100

输入样例：

输出样例：

答案解析：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int g[N][N],d[N][N];  // g记录迷宫，d记录该位置与起始位置的距离
typedef pair<int,int> PII;
queue<PII> q;int bfs(){int dx[] = {-1,0,1,0},dy[] = {0,1,0,-1};q.push({0,0}); //从第一个元素开始访问d[0][0] = 0;while(!q.empty()){auto t = q.front();  q.pop();for(int i = 0;i < 4;i++){int x = t.first+dx[i] , y = t.second+dy[i];if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < m && g[x][y] == 0 && !d[x][y]){d[x][y] = d[t.first][t.second]+1;q.push({x,y});}}}return d[n-1][m-1];
}int main() {cin>>n>>m;for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < m; ++j) cin>>g[i][j];cout<<bfs()<<endl;return 0;
}