编译原理正则表达式_确定有穷自动机（DFA)

1. 编译原理-确定有穷自动机（DFA）化简（最小化）

预备

最简化的DFA：这个DFA没有多余状态、也没有两个相互等价的状态。一个DFA可以通过消除无用状态、合并等价状态而转换成一个与之等价的最小状态的有穷自动机。
无用状态：从自动机开始状态出发，任何输入串也发到达的那个状态，或者这个状态没有通路可达终态。
等价转态：两个状态，识别相同的串，结果都同为正确或错误，这两个状态就是等价的。
区别状态：不是等价状态。

化简DFA

分割法：

把一个DFA（不含多余状态）的状态分割成一些不相交的子集，并且任意两个子集之间的状态都是可区别状态，同一子集内部的状态都是等价状态。

步骤(按分割法)

I0 = 非状态元素构成的集合，I1 = 终态元素构成的集合
经过多次划分后，要保证，任意一个Ik中的元素通过move(Ik,某个字符)的结果都同属于一个Iz，这时候划分完成。否则把状态不同的单独划分出去。
重复上一步，直至没有新的I子集增加。
从子集中任选一个代替整体，画出最简DFA。

例1. 将下图DFA M最小化

分割成I0，I1

I0 = {1,2,3,4} ; 非终态I1 = {5,6,7} ; 终态

检验I0中元素的等价性，不等价就分割

move(1,a) = 6 ∈I1move(1,b) = 3 ∈I0move(2,a) = 7 ∈I1move(2,b) = 3 ∈I0move(3,a) = 1 ∈I0move(3,b) = 5 ∈I1move(4,a) = 4 ∈I0move(4,b) = 6 ∈I1可以发现，{1,2}是等价的,{3,4}是等价的

所以现在分割成了：I2 = {1,2}, I1 = {5,6,7}, I3 = {3,4}

检测I2中元素的等价性，不等价就分割

move(1,a) = 6 ∈I1move(1,b) = 3 ∈I3move(2,a) = 7 ∈I1move(2,b) = 3 ∈I3可以发现，是等价的，不用分割

检测I3中元素的等价性，不等价就分割

move(3,a) = 1 ∈I2move(3,b) = 5 ∈I1move(4,a) = 4 ∈I3move(4,b) = 6 ∈I1
可以发现，不是等价的，分割成{3},{4}

所以现在分割成了：I2 = {1,2}, I1 = {5,6,7}, I4 = {3}, I5 = {4}

检测I1中元素的等价性，不等价就分割

move(5,a)  = 7 ∈ I1
move(5,b)  = 3 ∈ I4move(6,a)  = 4 ∈ I5
move(6,b)  = 1 ∈ I2move(7,a)  = 4 ∈ I5
move(7,b)  = 2 ∈ I2可以发现，不是等价的，分割成{6,7}, {5}

所以现在分割成了：I2 = {1,2}, I4 = {3}, I5 = {4}, I6 = {5},I7 = {6,7}

检测后发现，不可再分割，所以最终分割结果就是：I2 = {1,2}, I4 = {3}, I5 = {4}, I6 = {5},I7 = {6,7}

画转态转换图：从集合中选取一个代表就可以

例题2 编译原理作业题

构造一个DFA，它接受Σ = {0，1}上能被5整除的二进制数。另老师还要求写出能被5整除的二进制串的正规式。

解析：

首先分析题目可知，一个数除以5，其余数（十进制）只能是0，1，2，3，4五种，因此我们以0，1，2，3，4分别表示这五种状态。因为要求得能被5整除的数，0 mod 5=0满足要求，故状态0既为初始状态，又为终结状态。

接着，考虑二进制数在其串后增添0或1时，状态的转化情况。在二进制串后添1位，即可理解为将先前的串值乘以二再加上所添的数值。那么，串尾添数后新的数值模5的余数便可以计算出来。即可以得到添0或1后的新的状态。

下面根据分析列出状态转换表：

状态	添0	添1
0	0	1
1	2	3
2	4	0
3	1	2
4	3	4

根据状态转换表，可以绘制出DFA如下图所示：

再根据上面的DFA可以得出正规式如下：

{1 [ ((00|1)(01)*01*0)* (0|11) (01)* ] 1}* 0*