变上限积分无穷小比阶与导数的关系问题

@(微积分)

（2004）把x→0+x\rightarrow 0^+时的无穷小α=∫x0cost2dt,β=∫x20tant√dt,γ=∫x√0sint3dtds\alpha = \int_0^x cost^2dt,\beta = \int_0^{x^2}tan\sqrt t dt,\gamma = \int_0^{\sqrt x}sint^3dt d s,排在后面的是前面的高阶无穷小，则正确的排列顺序是？

分析：首先需要强调一点是：求导是降阶的。这在常识中是很自然的事情，但是容易被忽略，在无穷小的时候。比如求导以后看出函数与x2x^2同阶，那么原函数其实是与x3x^3同阶。

也需要注意，我们只说同阶，并未说等价，因为求导，求积分系数都有很复杂的变化，因此还需要更仔细的考量，不是直接说等价的。但同阶没有问题。

回到这里，很自然的思路是求导看一看。

dαdx=1⋅cosx2→1,当x→0时\frac{d\alpha}{dx} = 1\cdot cosx^2 \rightarrow 1,当x\rightarrow 0时

因此意味着α\alpha与x同阶(比导数涨一阶)。

dβdx=2x⋅tanx→2x2,当x→0时\frac{d\beta}{dx} = 2x\cdot tan x \rightarrow 2x^2,当x\rightarrow 0时

因此意味着β\beta与x3x^3同阶(比导数涨一阶)。

dγdx=12x√⋅sinx32→12x2,当x→0时\frac{d\gamma}{dx} = \frac{1}{2\sqrt x}\cdot sinx^{\frac{3}{2}} \rightarrow \frac{1}{2}x^2,当x\rightarrow 0时

因此意味着γ\gamma与x2x^2同阶。

因此，α,γ,β\alpha,\gamma,\beta,即按照x,x2,x3x,x^2,x^3的顺序。

如果忽视了降阶的概念，直接用导数比阶也是对的顺序，但是同时不要忽视了：
(∫ϕ(x)af(t)dt)′=f(ϕ(x))(ϕ(x))′(\int_a^{\phi(x)}f(t)dt)' = f(\phi(x))(\phi(x))'

常常是高兴了就把变上限的复合函数的导数扔了，这是不OK的。

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