《剑指offer》394244、数学类三则：1-n中1出现的个数、最大的礼物、丑数

1到n中1出现的个数

offer39的要求是，求1-n的整数中1出现的次数，比如input25，那么1在1,10-19,21中出现了1+1+10+1(11出现了两个1)=13次

语法糖

俗话说得好，有count不count猪头三。

# offer39-solution 1
def count_1_nums(self, n):count = 0for i in range(1,n+1):count = count + str(i).count('1')return count

递归

其实我一开始在想这是个数学问题，怎么就和递归扯上关系了。
但是仔细想想，我们可以用 f ( n ) f(n) f(n)代表1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数，将n拆分为两部分，最高一位的数字top和其他位的数字other，分别判断情况后将结果相加。
举一个具体的例子吧：1995，看成top=1，other=995，单位 p o w = 1 0 3 pow=10^3 pow=103
那么1-999中的1的个数就是 f ( p o w − 1 ) f(pow-1) f(pow−1)
千位上是1的个数是 995 + 1 = o t h e r + 1 995+1=other+1 995+1=other+1
其它位是1的个数就是 f ( o t h e r ) f(other) f(other)
1的总数就是上述之和

可以看到，由于我们还分了千位是否1的判别，所以还要考虑千位不是1的例子：5678。对于5678而言：
1~999这个范围1的个数是 f ( p o w − 1 ) f(pow-1) f(pow−1)
1000~1999中千位上是1的个数是pow，其他位是1的个数即是999中出现1的个数，也就是 f ( p o w − 1 ) f(pow-1) f(pow−1)
2000-4999中1的个数是 3 f ( p o w − 1 ) 3f(pow-1) 3f(pow−1)
5000-5678中1的个数是 f ( o t h e r ) f(other) f(other)
1的总数就是上述之和。

拆分完以后，递归就不难写了。

# offer39-solution 2
class Solution:
def count_1_nums_Digui(self, n):l = len(str(n))sum = 0while(True):top = n // (10 ** (l-1))if l == 1:if top == 0:return 0else:return 1other = n % (10 ** (l-1))q = 10 ** (l - 1) - 1if top == 1:sum = sum + (other+1) + Solution().count_1_nums_Digui(other) + Solution().count_1_nums_Digui(q)else:sum = sum + 10**(l-1) + Solution().count_1_nums_Digui(other) + top * Solution().count_1_nums_Digui(q)return sum

编程之美

接下来这里仅供参考。我虽然读懂了《编程之美》在说什么，也算是看懂了代码。但是我绝对难以想出如此这般的方法，只能说突出一个离谱。

① 如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100-199，1100-1199,2100-2199，……11100-11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以当前位数（100）。

② 如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100-199，1100-1199,2100-2199，……11100-11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共14个，等于低位数字（13）+1。

③ 如果百位上数字大于1（2-9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100-199，1100-1199,2100-2199，……11100-11199，12100~12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

如此这般：

# offer39-solution 3
def count_1_nums(n):count, m = 0, 1while m <= n:count += (n // m + 8) // 10 * m + (n // m % 10 == 1) * (n % m + 1)m *= 10return count

反正我不懂……

最大的礼物

offer42：在一个m×n的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）。
你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格直到到达棋盘的右下角，现在给定一个棋盘及其上面的礼物，需要规划处一个路线，使得可以获得最大价值的礼物。

几乎是最典型的DP了，而且也很好写出递推式：
d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + a [ i ] [ j ] dp[i][j]= max (dp[i-1][j], dp[i][j-1])+ a[i][j] dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+a[i][j]
剩下的都是为这条递推式服务的一些辅助。

# offer42-solution
class Solution:# 假设输入array为一维数组，行数为rows,列数为cols,要求输出为最大的那个数值def getMaxValue(self,array,rows,cols):if array == [] or rows <= 0 or cols <= 0:return 0maxValues = [[0 for i in range(cols)] for j in range(rows)] # 全是0的辅助矩阵for i in range(rows):for j in range(cols):  # 从上往下搜索left = 0up = 0if i > 0:# 如果行号大于0，说明它上面有数字up = maxValues[i - 1][j] # 那么up就为从上方来的路径的礼物值if j > 0:# 如果列号大于0，说明它左边有数字left = maxValues[i][j - 1] # left就为从上方来的路径的礼物值maxValues[i][j] = max(up, left) + array[i * cols + j] # 两条路中的最大者加当前值return maxValues[rows - 1][cols - 1]  # 输出右下角的值

丑数

offer44：丑数是指只包含质因子2、3和5的数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。我们认为：1是第一个丑数，要求按从小到大的顺序的第N个丑数。

同样可以写成DP，对每个丑数，乘以2,3,5，然后判断新的丑数的位置。可以考虑分别对质因子2,3,5制作三个队列进行出队入队，更为简洁的方法应该是写成一个队列，但是判断3次。

# offer44-solution
class Solution:def GetUglyNumber_Solution(self,index):if index <= 0:return 0res = [1]nextIndex = 1t2 = t3 = t5 = 0while nextIndex < index:min_val = min(res[t2]*2,res[t3]*3,res[t5]*5)# 对每个丑数，乘以2,3,5，然后判断新的丑数的位置res.append(min_val)while res[t2]*2 <= min_val:  # 如果乘出来的结果较小，则指标向前移动t2 += 1while res[t3]*3 <= min_val:t3 += 1while res[t5]*5 <= min_val:t5 += 1nextIndex += 1return res[index-1]