联合概率（joint probability）、分布函数（distribution function）

2024-04-29 06:07:18

0. PMF 与 PDF 的记号

PMF：PX(x)P_X(x)
PDF：fX(x)f_X(x)

1. 联合概率

联合概率：是指两个事件同时发生的概率。

P(A,B)=P(B|A)⋅P(A)⇒P(B|A)=P(A,B)P(A)

P(A,B)=P(B|A)\cdot P(A) ⇒ P(B|A)=\frac{P(A,B)}{P(A)}

因此当两事件独立时，P(A,B)=P(A)⋅P(B)P(A,B)=P(A)\cdot P(B)，此时，P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)，也即事件 A 发不发生对事件 B 发生的概率没有影响。

2. 分布与分布函数

分布函数的现实意义在于，其能够计算随机变量的取值落在某一区间 (x1,x2]\left(x_1,x_2\right] 的概率：P{x1<X≤x2}P\{x_1\lt X\leq x_2\}：

P{x1<X≤x2}=P(X≤x2)−P(X≤x1)

P\{x_1\lt X\leq x_2\}=P(X\leq x_2)-P(X\leq x_1)

统计学上，分布是指一组值及其对应的概率。

分布函数（distribution function）与 CDF（cumulative distribution function）是一个概念。

CDF 完成的映射是，R→[0,1]\mathbb R\rightarrow [0, 1]：

FX(x)=P(X≤x)

F_X(x)=P(X\leq x)

注意一些数学记号（P,p\operatorname P, p）的写法：

F(x)=FX(x)=P(X≤x)=∑xi≤xP(X=xi)=∑xi≤xp(xi)

F(x) =F_X(x)= \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)

3. cdf 右连续性的理解

从上到下依次是：

离散型 cdf
连续型 cdf
离散+连续 cdf

4. span 的长度

手掌撑开，大拇指指尖到小指指尖的长度，称为 1 span。

某学校某年级的每学生的 span 统计起来，应当服从何种分布呢？

男生手指，正态分布（长度小于 0 的概率值为 0，长度足够大的概率也为 0）
女生手指，正态分布（…）
男生和女生手指一块统计，一个双峰分布；

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