一招搞定泰尔指数及其分解

上期讲了区位基尼系数，这期讲讲泰尔指数。

泰尔指数的原理同基尼系数，都是在测度一组数据分布的差异性。但是其有着良好的可分解性质，因此当需要考察产业空间集中度在不同区域层面的差异来源时，比较常用。

一、指标计算与分解

根据Combes, Mayer, &Thisse (2008，263~265)，泰尔指数的基本计算公式如下：

上式中，R为地区数目，s为产业部门(sector)；为r地区s产业在全部产业中所占的份额，为地区r的经济总量在所有地区经济总量中所占的份额。可设定所有地区经济总量的份额均为1/R，则算出的指标为绝对指标。

泰尔指数可分解为组间差异和组内差异。比如说在测度我国区域经济发展的不均衡性时，就可将之分解为地带间的不均衡性和地带内的不均衡性。先在省级层面上计算各省份人均GDP的泰尔指数，应该可以发现，省级差异还是比较大的。接下来将大陆31个省份分成东、中、西部三组地带，那么，可以计算三组间人均GDP的泰尔指数，此即为组间泰尔指数；还可以就每一组分别计算组内省份间人均GDP的泰尔指数，利用各组的份额将它们加权平均，得到组内泰尔指数。结果或许可以表明，各省份间人均GDP的差异性，主要来自东、中、西部三地带间的差异(即组间差异)，而在每个地带内部，省份间的差异性并不大。产业空间集中度的分解类同此理。

组间泰尔指数的计算公式如下。计算时，将组内单位指标数值汇总到组层面，将每组看成观测单元，在组层面上利用泰尔指数基本计算公式即可算出。

，

组内泰尔指数的计算公式如下。计算时，实际上是以某组为样本群体，利用泰尔指数基本计算公式计算该组单元数值的泰尔指数，再将各组的泰尔指数加权平均得出，权重为每组单元汇总指标值的占所有单元汇总指标值的份额。

，

。这一分解为一层分解。如有多个层级的分组，如先地带分组，地带内的省里面又有市级分组，市级分组里面又有县级分组，…，形成一个嵌套多层级分组体系，则泰尔指数的分解可依据链式法则递进分解。如下图所示(Akita, 2003)。第一层次的分解在“国家(Country)→地带(Region，分组变量)→省(Province，观测单元)”之间展开。首先是不分组，计算省级层面的总泰尔指数，然后计算地带间的组间泰尔指数，再次计算Region1组内Province1、Province2、Province3的泰尔指数，其他各组依此计算，这样会得到各组的泰尔指数，再加权平均为总的组内泰尔指数。如此，即实现第一层次的分解。

如果Province下面还分地区(District)，则可将每组看成一个样本群体继续分解。如以上计算出的Region1的组内泰尔指数，在将Region1看成一个样本群体后，可在“Region1→ Province1：Province3 → District1：District10”这个体系内，利用以上第一层次的分解原理继续分解。其他Region组照此进行。然后依据加权平均法则，把各组的Province层面组间泰尔指数进行加权平均(权重为Region的份额)，即得到Province组间泰尔指数。总的泰尔指数最后分解为：Region组间泰尔指数+Province组间泰尔指数+Province内部以District为单元计算出的组内泰尔指数(将各Province组的组内泰尔指数加权平均得之)。

如District下面还要细分，则按照以上原理一环套一环递进分解完毕即可。

二、R语言函数实现

根据以上公式和分解原理，编写计算并分解泰尔指数的函数geo.theil()，其参数设定说明如下：

geo.theil(x, y = NULL, group = NULL)

其中，

x为各区域产业经济活动规模数值向量；

y为各区域总体经济活动规模数值向量；

x、y向量不能含缺失值，不能有负值，y向量和大于0；

y默认为NULL，即不作设定，此时简化为绝对指标；

group为分组指示向量。如分组在两层以上，则group为两列以上的矩阵或数据框，层级由高到低排。

让我们用数据测试一下：代码1

#载入geo.theil函数

> source("geo_theil.R")

#代码测试，geo.theil和ineq包的Theil结果相同

> a

> geo.theil(a)

[1] 0.1196876

> ineq::Theil(a)

[1] 0.1196876

> REAT::theil(a)

[1] 0.1411139

接下来用实际数据来试一下。数据“manufacture2007.csv”包含了中国大陆省、市、县级2007年30个制造业的规模以上工业增加值数据，其前三列分别为省、市、县，最后一列为各区域单元全部制造业的工业增加值总和，可作为参照分布，其余列均为各个制造业工业增加值。读入数据后，用geo.theil()函数算出各产业的泰尔指数并在省、市两级层面分解，导出结果文件为“theil_results.csv”，代码如下：代码2

#设置代码和数据所在的工作文件夹，这里假设为"D:\\theil"，注意地址分隔符用"\\"而不是"\"

> setwd("D:\\theil")

#载入geo.theil函数

> source("geo_theil.R")

#读入数据

> mydata

#看两位数代码为13的制造业在省级层面的分解

> t13.1

> t13.1

total    group1    within

1.0547998 0.2547051 0.8000947

#看两位数代码为13的制造业在省级和市级层面的分解

> t13.2

> t13.2

total    group1    group2     within

1.0547998 0.2547051 0.3106503 0.4894444

#批量计算所有制造业在省、市层面的分解

> theil.results

> theil.results

> theil.results

total     group1    group2     within

X13 1.0547998 0.25470508 0.3106503 0.4894444

X14 1.1200430 0.18545063 0.2821592 0.6503204

……

X42 1.3465432 0.27674943 0.5073413 0.7699828

X43 3.0207135 0.50584180 0.8718032 1.3451203

#写出结果文件至工作文件夹

> write.csv(theil.results,  "theil_results.csv")

参考文献：

[1]Akita, T. 2003.Decomposing regional income inequality in China and Indonesia using two-stagenested Theil decomposition method. Annals of Regional Science, 37(1): 55-77.

[2]Combes, P.-P., Mayer,T., & Thisse, J.-F. 2008. Economic geography: The integration of regionsand nations: Princeton University Press..

数据和代码请关注微信公众号：“思达区域经济研究方法”，SDAR-workshop

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