补充更方便使用的R语言版本：张敬信：【R语言】泰尔指数及其分解​zhuanlan.zhihu.com

前言

最近查一点泰尔指数的资料，发现无论是公式还是软件实现，都说的特别乱，看不出所以然。

特整理了该内容，并用Matlab软件给出了实现的代码。

一.泰尔指数

泰尔指数(Theil index)或者泰尔熵标准(Theil’s entropy measure)泰是由泰尔(Theil,1967)利用信息理论中的熵概念来计算收入不平等而得名。

熵在信息论中被称为平均信息量。在信息理论中，假定某事件E将以某概率p发生，而后收到一条确定消息证实该事件E的发生，则此消息所包含的信息量用公式可以表示为：

设某完备事件组由各自发生概率依次为

, 由n个事件

构成，则有

, 熵或者期望信息量等于各事件的信息量与其相应概率乘积的总和：

将信息理论中的熵指数概念用于收入差距的测度时，可将收入差距的测度解释为将人口份额转化为收入份额(类似于洛伦兹曲线中将人口累计百分比信息转化为收入累计百分比)的消息所包含的信息量。而泰尔指数只是熵指数中的一个应用最广泛的特例。泰尔指数的表达式为：

其中，

为收入差距程度的测度泰尔指数，

表示第

个体的收入，

表示所有个体的平均收入。

对于分组数据，泰尔指数有另一种表达式：

其中，

表示第

组收入占总收入的比重,

表示第

组人口数占总人口数的比重。

例1.

(I) 按公式(2)计算：

functionT=Theil2(x)%函数Theil2()计算泰尔指数, 反映收入水平的差异

%其中,x为n个个体的收入

xx=x./mean(x);

T=mean(xx.*log(xx));

主程序：

y2=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];

%每个个体的收入(万美元)

T2=Theil2(y2)

运行结果：

T2 = 0.0791

(II) 按公式(3)计算：

functionT=Theil(y,p)%函数Theil()计算泰尔指数, 反映收入水平的差异

%其中,y为各组的平均收入; p为各组包含的个体数

w=y.*p/sum(y.*p);

e=p./sum(p);

T=sum(w.*log(w./e));

主程序：

y=[10 8 6 4 2]; %各组的平均收入(万美元)

p=[2 4 6 4 2]; %各组包含的个体数

T=Theil(y,p)

运行结果：

T = 0.0791

二. 泰尔指数分解法

泰尔指数作为收入不平等程度的测度指标具备良好的可分解性质，即将样本分为多个群组时，泰尔指数可以分别衡量组内差距与组间差距对总差距的贡献。假设包含

个个体的样本被分为

个群组，每组分别为

,第

组

中的个体数目为

，则有

.

用

表示个体

的收入份额(占总收入的比例),

表示第

组的收入份额(占总收入的比例)

记

与

分别为组间差距和组内差距，则可将泰尔指数分解如下：

在上式中组间差距与组内差距分别有如下表达式：

其中，

为第k组的组内差距(k=1,...K).

进一步，可以计算第k组组内差距的贡献率和组间差距的贡献率：

另外，值得注意的是组内差距项分别由各组的组内差距之和构成，各组的组内差距的计算公式与样本总体的计算公式并无二致，只是将样本容量控制在第k组的个体数目。

例2还是例1的数据，计算组间差距与组内差距，验证泰尔指数

function[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x,n)%函数TbTw()计算泰尔指数分解

%返回Tb为组间差距, Tw为组内差距, z为各个组内差距,

%返回T为泰尔指数, Db为组间贡献率, Dw为各个组内贡献率

%泰尔指数T=Tb+Tw

%x为N个个体的收入向量, 依次分为K个分组, n=[n1,...,nK]为各分组的个体数向量, sum(n)=N

K=length(n);

s=[0,cumsum(n)];

for k=1:K

X{k}=x(s(k)+1:s(k+1))./sum(x); %X{k}为第k个分组的nk个个体的收入份额(占总收入的比例)

y(k)=sum(X{k}); %y(k)为第k组的收入份额(占总收入的比例)

end

Tb=sum(y.*log(y./(n./length(x)))); %组间差距

for k=1:K

z(k)=sum((X{k}./y(k)).*log(n(k)*X{k}./y(k))); %第k组的组内差距

end

Tw=sum(y.*z); %总的组内差距为各分组组内差距的加权和

T=Tb+Tw; %泰尔指数

Db=Tb/T; %组间贡献率

Dw=y.*z/T; %各分组内的组内贡献率

主程序：

x=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];

%每个个体的收入(万美元)

n=[2 4 6 4 2]; %各分组的个体数

[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x,n)

运行结果：

Tb

= 0.0791

Tw

= -3.7007e-17

T

= 0.0791

z

= 1.0e-15 *

0 0

-0.1110 0 0

Db

= 1.0000

Dw

= 1.0e-15 *

0 0

-0.4680 0 0

说明：由于该例中，每个分组内各个个体的收入是相同的，故每个分组的组内差距为０，总的组内差距Tw也为０，结果中的-3.7007e-17是由于Matlab中的双精度误差造成的，相当于是０.

例3 修改例1中的数据，让各分组的个体收入不相等，继续测试上述算法。

原第1组：10、10，改为9.5、10.5

原第2组：8、8、8、8，改为7、9、7.5、8.5

原第3组：6、6、6、6、6、6改为5、7、5.5、6.5、6、6

原第4组：4、4、4、4改为3、5、3.5、4.5

原第5组：1.5、2.5

主程序：

x2=[9.5 10.5 7 9 7.5 8.5 5 7 5.5 6.5 6 6 3 5 3.5 4.5 1.5 2.5]; %每个个体的收入(万美元)

n=[2 4 6 4 2]; %各分组的个体数

[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x2,n)

运行结果：

Tb

= 0.0791

Tw

= 0.0077

T

= 0.0868

z

= 0.0013 0.0049

0.0058 0.0197 0.0316

Db

= 0.9112

Dw

= 0.0027 0.0167

0.0223 0.0336 0.0135

作者：张敬信

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