图像分割——大津法(Otsu)

2024-04-24 08:30:38

大津法又叫最大类间方差法，是于1979年由日本学者大津展之提出的一种对图像进行二值化的高效算法，是在判别与最小二乘法原理的基础上推导出来的。

算法原理

把直方图在某一阈值处分割为两组，当前分成的两组间方差最大。
假设我们有一张图像，其灰度值为1~m级，灰度值 i 的像素数为 n_i 。
我们可以得到
像素总数 N=∑i=0nxiN=\sum_{i=0}^{n} x_iN=∑i=0nxi
各灰度级的概率 pi=niNpi=\frac{n_i}{N}pi=Nni。
然后用阈值T将其分为两组C0=∣1∽T∣C_0=\mid1\backsim T\midC0=∣1∽T∣和C1=∣T+1∽m∣C_1=\mid T+1 \backsim m \midC1=∣T+1∽m∣。
我们就可以得到：
C₀的概率 w0=w(T)=∑i=1Tpiw_0=w(T)=\sum_{i=1}^T p_iw0=w(T)=∑i=1Tpi
C₁的概率 w1=1−w0=∑i=T+1mpiw_1=1-w_0=\sum_{i=T+1}^m p_iw1=1−w0=∑i=T+1mpi
C₀的平均值 μ0=μ(T)w(T)=∑i=1Ti∗piw0\mu_0=\frac{\mu(T)}{w(T)}=\sum_{i=1}^T \frac{i*p_i}{w_0}μ0=w(T)μ(T)=∑i=1Tw0i∗pi
C₁的平均值 μ1=μ−μ(T)1−w(T)=∑i=T+1mi∗piw1\mu_1=\frac{\mu-\mu(T)}{1-w(T)}=\sum_{i=T+1}^m \frac{i*p_i}{w_1}μ1=1−w(T)μ−μ(T)=∑i=T+1mw1i∗pi

其中μ\muμ是整个图像的灰度平均值，μ=w0μ0+w1μ1\mu=w_0\mu_0+w_1\mu_1μ=w0μ0+w1μ1
两组间的方差为：
δ2=w0(μ0−μ)2+w1(μ1−μ)2=w0w1(μ1−μ0)2\delta^2=w_0(\mu_0-\mu)^2+w_1(\mu_1-\mu)^2=w_0w_1(\mu_1-\mu_0)^2δ2=w0(μ0−μ)2+w1(μ1−μ)2=w0w1(μ1−μ0)2
=[μw(T)−μ(T)]2w(T)[1−w(T)]= \frac{ [\mu w_(T)-\mu(T)]^2}{w(T)[1-w(T)]} =w(T)[1−w(T)][μw(T)−μ(T)]2

实现代码：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltgray=cv2.imread('lenaGray.bmp',cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
cv2.imshow('gray',gray)N=gray.size
pro=np.array([0]*256)
for i in range(gray.shape[0]):for j in range(gray.shape[1]):pro[gray[i,j]]+=1
pro=pro/NT=0
delta=0
thresh=0
while T<=256:w0=pro[0:T].sum()w1=pro[T+1:256].sum()u0=(pro[0:T]*range(1,T+1)).sum()/w0u1=(pro[T:256]*range(T+1,257)).sum()/w1u=w0*u0+w1*u1v=w0*w1*np.square(u1-u0)if v>delta:delta=vthresh=TT+=1otsu=np.zeros(gray.shape,np.uint8)
for i in range(gray.shape[0]):for j in range(gray.shape[1]):if gray[i,j]>thresh:otsu[i,j]=255cv2.imshow('Otsu',otsu)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

效果展示

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