证明高斯滤波是低通滤波

傅里叶变换和逆变换公式：

$\hat f(\xi )=\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)e^{-2\pi jx \xi}dx$

$f(x)=\int_{-\infty }^{+\infty}\hat f(\xi)e^{2\pi jx \xi}d\xi$

$\xi$ 的单位是赫兹，转换为角频率，即 $\omega = 2\pi \xi$ ，傅氏变换和逆变换形式为：

$\hat f(\omega )=\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)e^{-jx\omega}dx$

$f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty}\hat f(\omega)e^{jx \omega}d\omega$

以标准高斯分布（均值为0，方差为1）为例：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}$

高斯分布函数的傅里叶变换：

$\begin{aligned} \hat f(x) &=\int_{-\infty }^{+\infty}f(x)e^{-jx\omega}dx\\ &= \int_{-\infty }^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^2}{2\sigma ^2}}e^{-jx\omega}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x+\sigma^2 \omega j)^2-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x+\sigma^2 \omega j)^2}dx\\ &=\xrightarrow{u=\frac{1}{\sqrt{2}\sigma}(x+\sigma^2 \omega j)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}\int_{-\infty }^{+\infty}e^{-u^2}\sqrt{2}\sigma du\\ &=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}}2\int_{0}^{+\infty}e^{-u^2}du\\ &=e^{-\frac{\sigma^2 \omega^2}{2}} \end{aligned}$

绘制变换后的函数图像如下图所示（横轴表示 $\omega$ ）：

（二维高斯卷积同上）

红色表示 $\sigma =1$ ，蓝色表示 $\sigma =2$ ，绿色表示 $\sigma =3$ 。由曲线可以看出，当 $\sigma$ 越大时，曲线越陡，对高频信息舍弃更为严重，滤波后图像更为模糊。

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