传送门

题解：

构建矩阵快速幂的做法基本上敢来做省选的人都会了，这里不谈了。

首先设fif_ifi表示斐波那契数列第iii项，我们知道1⋅11\cdot 11⋅1两侧都是斐波那契数列，得到：

Fn=2∑i=3n∑j=infj−i+1fn−jF_n=2\sum_{i=3}^n\sum_{j=i}^nf_{j-i+1}f_{n-j}Fn=2i=3∑nj=i∑nfj−i+1fn−j

直接得到FFF生成函数F(x)=2x3(1−x)(1−x−x2)2F(x)=\frac{2x^3}{(1-x)(1-x-x^2)^2}F(x)=(1−x)(1−x−x2)22x3

分式拆分，也可以搞特征方程，待定系数法，设ϕ=1+52,φ=1−52\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2},\varphi=\frac{1-\sqrt 5}{2}ϕ=21+5,φ=21−5，我们知道：

F(x)=A111−x+A211−ϕx+A22(1−ϕx)2+A311−φ+A32(1−φx)2F(x)=\frac{A_{11}}{1-x}+\frac{A_{21}}{1-\phi x}+\frac{A_{22}}{(1-\phi x)^2}+\frac{A_{31}}{1-\varphi}+\frac{A_{32}}{(1-\varphi x)^2}F(x)=1−xA11+1−ϕxA21+(1−ϕx)2A22+1−φA31+(1−φx)2A32

把分母分别乘过去求极限可以得到A11=lim⁡x→1(1−x)F(x)=2x3(1−x−x2)2∣x=1=2A22=lim⁡x→1ϕ(1−ϕx)2F(x)=1+55A32=lim⁡x→1φ(1−φx)2F(x)=1−55A_{11}=\lim_{x\rightarrow 1}(1-x)F(x)=\frac{2x^3}{(1-x-x^2)^2}\vert _{x=1}=2\\A_{22}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{\phi}}(1-\phi x)^2F(x)=\frac{1+\sqrt 5}{5}\\A_{32}=\lim_{x\rightarrow \frac{1}{\varphi}}(1-\varphi x)^2F(x)=\frac{1-\sqrt 5}{5}A11=x→1lim(1−x)F(x)=(1−x−x2)22x3∣x=1=2A22=x→ϕ1lim(1−ϕx)2F(x)=51+5A32=x→φ1lim(1−φx)2F(x)=51−5

根据特征方程，Fn=A11+(A21+A22n)ϕn+(A31+A32n)φnF_n=A_{11}+(A_{21}+A_{22}n)\phi^n+(A_{31}+A_{32}n)\varphi^nFn=A11+(A21+A22n)ϕn+(A31+A32n)φn

将F1=0,F2=0F_1=0,F_2=0F1=0,F2=0代入计算可以知道A21=−22550−1,A31=22550−1A_{21}=-\frac{22\sqrt 5}{50}-1,A_{31}=\frac{22\sqrt 5}{50}-1A21=−50225−1,A31=50225−1

得到通项公式，搞就行了，注意%1e9+7\% 1e9+7%1e9+7意义下没有555的二次剩余，所以直接开一个复数类型即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs constcs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){a+=b-mod;return a+(a>>31&mod);}
inline int dec(int a,int b){a-=b;return a+(a>>31&mod);}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline int power(int a,int b,int res=1){for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))(b&1)&&(res=mul(res,a));return res;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
cs int inv2=power(2,mod-2),inv5=power(5,mod-2),inv50=power(50,mod-2);struct cp{int x,y;//x + y\sqrt 5cp(){}cp(int _x,int _y=0):x(_x),y(_y){}friend cp operator+(cs cp &a,cs cp &b){return cp(add(a.x,b.x),add(a.y,b.y));}friend cp operator-(cs cp &a,cs cp &b){return cp(dec(a.x,b.x),dec(a.y,b.y));}friend cp operator*(cs cp &a,cs cp &b){return cp(add(mul(a.x,b.x),mul(5,mul(a.y,b.y))),add(mul(a.x,b.y),mul(b.x,a.y)));}friend cp operator*(cs cp &a,int b){return cp(mul(a.x,b),mul(a.y,b));}
};inline cp power(cp a,int b){cp res(1);for(;b;b>>=1,a=a*a)if(b&1)res=res*a;return res;
}cs cp t1=cp(1,1)*inv5,t2=cp(1,mod-1)*inv5;
cs cp p1=cp(mod-1,mod-mul(22,inv50)),p2=cp(mod-1,mul(22,inv50));
cs cp q1=cp(1,1)*inv2,q2=cp(1,mod-1)*inv2;signed main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);printf("%d\n",(2+((t1*n+p1)*power(q1,n)).x+((t2*n+p2)*power(q2,n)).x)%mod);}return 0;
}

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