不对称正弦波介绍

不对称正弦波图像如下

参数方程可以表示为
x=t−ksin⁡ty=sin⁡t\begin{array}{l} x=t-k \sin t \\ y=\sin t \end{array} x=t−ksinty=sint
t为参数方程的参数，k表示不对称的程度

python生成

求解思路

目标是画出一个x与y的函数图像，因此先通过x求解非线性方程得到t，而后通过t求y,其中求解非线性方程使用scipy.optimize.fsolve

python代码

#导入包
import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve, curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt
#中间函数，通过x求解t
def feixianxing(t):global buffer  # buffer就是x的取值，在asin函数中修改buffer，反解参数tk = -.4  # 参数kreturn t - k * np.sin(t) - buffer
def asin(x):funy = []global bufferfor m in x:buffer = mresult = fsolve(feixianxing, 0)buffery = np.sin(result[0])funy.append(buffery)return funy

以上函数定义完成后，可以设置x的取值范围，并且生成y

x = np.linspace(0, 10., 100)
y = asin(x)
plt.plot(x, y, 'r-', label='original data')
plt.show()

图像如下：

傅里叶分解

由于这个函数是周期奇函数，所以可以用傅里叶级数对其进行分解，使用的函数为scipy.optimize.curve_fit,代码如下：

# 模板函数，因为是奇函数，所以没有cos的傅里叶项，period是周期，可以自己定义
def fourier(x, *a):global periodtau = period / 2f = a[0] * np.sin(np.pi / tau * x)for deg in range(1, len(a)):f += a[deg] * np.sin((deg + 1) * np.pi / tau * x)return f
# 使用curce_fit函数
period = 2 * np.pi
x = np.linspace(0, 10., 100)
y = asin(x)
#x，y是拟合的数据集，[1.0]*3是傅里叶的项数，函数中的意思是估计拟合参数的初值是三个1
popt, pcov = curve_fit(fourier, x, y, [1.0] * 3)
#画出函数并比对
plt.plot(x, y, 'r-', label='original data')
plt.plot(x, fourier(x, *popt), "g--", label='fit curve')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

图像如下，拟合程度可以通过调节项数来改变。

完整代码

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve, curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt# 中间函数，通过x求解t
def feixianxing(t):global buffer  # buffer就是x的取值，在asin函数中修改buffer，反解参数tk = -.4  # 参数kreturn t - k * np.sin(t) - bufferdef asin(x):funy = []global bufferfor m in x:buffer = mresult = fsolve(feixianxing, 0)buffery = np.sin(result[0])funy.append(buffery)return funydef fourier(x, *a):global periodtau = period / 2f = a[0] * np.sin(np.pi / tau * x)for deg in range(1, len(a)):f += a[deg] * np.sin((deg + 1) * np.pi / tau * x)return fperiod = 2 * np.pi
x = np.linspace(0, 10., 100)
y = asin(x)
popt, pcov = curve_fit(fourier, x, y, [1.0] * 3)
plt.plot(x, y, 'r-', label='original data')
plt.plot(x, fourier(x, *popt), "g--", label='fit curve')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.show()

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