折线分割平面问题总结

以下分割线包含的内容转自大佬的博客：http://blog.csdn.net/magicnumber/article/details/43201063 感谢大佬让我转载

自己写的总结在最下面，建议按顺序看。

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看了一下具体数学的1.2章，整理了一下关于一个平面被分割的部分多少的问题

先考虑第一个小问题：

一个平面能被n条直线最多分成多少个部分？

假设用L来表示答案，那么有

最优的分法可以考虑是：

1. 没有两条直线互相平行

2. 没有三线共点

也就是说，如果现在有一个n条线的最优情况，我要新加第n+1条线，让他顺次穿过前n条线，即穿过了n+1个部分，即增加了n+1个部分（穿过了一个部分就可以把这个部分分成两半）

所以，初始情况，然后有

一个式子有两种长相，一种是递推式，一种是闭形式（不一定存在哟，有的也可能很复杂很复杂，例：斐波那契数列），闭形式说白了就是要求F(n)然后把n套进去就能得出函数的值，递推式就是要求F(n)就需要知道F(k) (k<n) 的值，这里可能需要一个k或者若干个k，或者更丧心病狂的可能需要知道F(0)到F(n-1)之间的所有值(Catalan数的最显而易见的那个递推式就是这样)

所以上头的是递推式

闭形式好搞，继续往后拆呗

$=L_{n-2}+(n-1)+n$

$=L_{n-3}+(n-2)+(n-1)+n$

。。。。

发现L0=1诶，而后面则是一个1到n的和。

小高斯告诉我们，

因此，

如果用V字型的折线分割平面

假设用V表示最多分割的平面数量，则有

可以把V的两条射线反向延长，得到的就是2条交叉的线，如果我们就这样放着的话，相当于

但是，因为是V型的，所以两条反向延长线去掉之后，都会把三个部分合成一个部分，所以，对于每一个V，反向延长线去掉之后，平面分割的部分数目就要减去2，而总共有n个V型的线，所以要在的基础上减去2n

综上

也就是

Z字型的线分割平面的问题

对于一个Z，先当作三条线相交，但是很不幸，有一对平行线，所以分割的平面少了1，然后还有两个反向延长线需要去掉，分隔平面少了4，所以一条Z相比L3少了5个平面，因此：

上次有人问我一个问题，

如果是M字形的线分割平面结果呢（M的两个脚也是平行的）？

三对线没有交叉，因此少了3，三个角的反向延长线去掉了，又少了6。

推广一下，

如果F(n,m)表示n个折了m次的线最多能把平面分成的部分数，那么F(n,m)为多少呢？（例如M型的就是折了三次，有三个角，其中第一段和最后一段平行，其他段互不共线）

首先，折了m次的线就是由m+1条直线组成，因此就会有

对线，其中m对线有交点，因此不相交的直线数目有

，

然后由于有m个角，每个角损失了2个部分，因此损失2m个部分。

综上

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大佬的讲解比较清楚，但是对于M型切割以及最后总结的公式，我不是很理解，所以我自己又尝试着推导了一下。用另外一种方式来解释,

是否正确没法判定，但至少和上面已经推出来的通项公式一致………，如果你有兴趣可以往下看，欢迎提出问题并且与我讨论，如果没有可以直接略过。

首先你需要知道 L(n)=(n*n+n)/2+1;

L(n)代表n条直线最多分割平面的块数

Y(X)代表将X型图形的所有线段、射线延长后分割平面的个数

B（X）代表不延长线段平面被X型图形分割的块数，比如一个V型折线分割平面为2部分，一个W型，M型，Z型都是将平面分割成了两部分。

对于V型切割

只有一个V的时候，平面分成了两部分B（V）=2。然后将V的两条射线延长，那么平面被分成了4块,Y(V)=4

然后对于L（2）=4 因为将V的两条线延长之后等价于2条直线分割平面。此时V(n)=L(2n)-(Y(V)-B(V))*n-(L(2)-Y(V))*n=L(2n)-4n-0=L(2n)-4n; 后面L（2）-Y（V）考虑图形中出现互相平行的线段\射线的情况，显然V型不存在平行的情况，所以减去0。

对于Z型切割

只有一个Z的时候，平面被分成两部分，B(Z)=2.然后将Z的两条射线一条线段双向延长，显然，平面被分成了6部分。Y（Z）=6

而L(3)=7 ，因为将Z的3条线段延长后等价于3条直线分割平面。所以Z(n)=L（3n）-(Y(Z)-B(Z))*n-(L(3)-Y(Z))*n=L(3n)-4n-n=L(3n)-5n

对于M型切割

只有一个M的时候，平面被分成两部分，B（M）=2，然后将M的四条线段双向延长，画出来，发现平面被分成了10个部分，Y(M)=10;

而L(4)=10,因为将M的4条线段延长后等价于4条直线分割平面,所以M(n)=L(4n)-(Y(M)-B(M))*n-（L(4)-Y(M)）*n=L(4n)-8*n-n=L(4n)-9n;

对于W型切割

我们推出来和M型的公式是一样的。如果和你想的不一样，或者你有更好的想法，欢迎与我讨论，因为我从网上没找到W型切割的通项公式。