1 Introduction

梳理下重要的定律：
1）牛顿第二定律，为研究平移运动提供了工具。
∑Fext=dP/odt=maG/o(1.1)\sum F_{ext}=\frac{dP_{/o}}{dt}=ma_{G/o} \tag{1.1} ∑Fext=dtdP/o=maG/o(1.1)
2）欧拉定律，给研究物体转动提供了工具。
∑τA=dH/Adt+vA/o×P/o(1.2)\sum \tau_A=\frac{dH_{/A}}{dt}+v_{A/o} \times P_{/o} \tag{1.2} ∑τA=dtdH/A+vA/o×P/o(1.2)
同时，为了方便计算，定义转动惯量I。
以下面球的角动量开始引出转动惯量的概念，首先定义一个旋转轴p，则角动量为：
H‾/o=∑R‾i/o×P‾/o=∑R‾i/o×mv‾i/o=∑mri/o2wp^(1.3)\begin{aligned} \overline{H}_{/o} &=\sum \overline{R}_{i/o}\times \overline{P}_{/o} \\ &=\sum \overline{R}_{i/o}\times m\overline{v}_{i/o} \\ &=\sum mr^2_{i/o}w\hat{p}\\ \end{aligned} \tag{1.3} H/o=∑Ri/o×P/o=∑Ri/o×mvi/o=∑mri/o2wp^(1.3)

根据公式(1.3)，H/o=hxi^+hyj^+hzk^H_{/o}=h_x\hat{i}+h_y\hat{j}+h_z\hat{k}H/o=hxi^+hyj^+hzk^,可以用矩阵表示：
H/o=[hxhyhz](1.4)H_{/o}= \begin{bmatrix} h_x \\ h_y \\ h_z \end{bmatrix} \tag{1.4} H/o=⎣⎡hxhyhz⎦⎤(1.4)
整个物体绕p^\hat{p}p^轴旋转的角动量，可以看成分别绕XYZ轴旋转的角动量的线性叠加。
H‾x=∑r‾i×(miwxi^×r‾i)=∑(ai^+bj^+ck^)×(miwxi^×(ai^+bj^+ck^))=∑(ai^+bj^+ck^)×(miwxbk^−miwxcj^)=∑(−miwxabj^+miwxb2i^−miwxack^+miwxc2i^)=∑(miwx(b2+c2)i^−miwxabj^−miwxack^)(1.5)\begin{aligned} \overline{H}_x&=\sum \overline{r}_i\times(m_iw_x\hat{i} \times \overline{r}_i) \\ &=\sum(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})\times(m_iw_x\hat{i}\times(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}))\\ &=\sum(a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k})\times(m_iw_xb\hat{k}-m_iw_xc\hat{j})\\ &=\sum(-m_iw_xab\hat{j}+m_iw_xb^2\hat{i}-m_iw_xac\hat{k}+m_iw_xc^2\hat{i})\\ &=\sum(m_iw_x(b^2+c^2)\hat{i}-m_iw_xab\hat{j}-m_iw_xac\hat{k}) \end{aligned} \tag{1.5} Hx=∑ri×(miwxi^×ri)=∑(ai^+bj^+ck^)×(miwxi^×(ai^+bj^+ck^))=∑(ai^+bj^+ck^)×(miwxbk^−miwxcj^)=∑(−miwxabj^+miwxb2i^−miwxack^+miwxc2i^)=∑(miwx(b2+c2)i^−miwxabj^−miwxack^)(1.5)
同理，整个物体绕Y轴和绕Z的角动量分别为：
H‾y=∑(−miwyabi^+miwy(a2+c2)j^−miwybck^)H‾z=∑(−miwzaci^−miwzbcj^+miwz(a2+b2)k^)(1.6)\begin{aligned} \overline{H}_y &=\sum( -m_iw_yab\hat{i}+m_iw_y(a^2+c^2)\hat{j}-m_iw_ybc\hat{k})\\ \overline{H}_z &=\sum( -m_iw_zac\hat{i}-m_iw_zbc\hat{j}+m_iw_z(a^2+b^2)\hat{k}) \end{aligned} \tag{1.6} HyHz=∑(−miwyabi^+miwy(a2+c2)j^−miwybck^)=∑(−miwzaci^−miwzbcj^+miwz(a2+b2)k^)(1.6)
结合公式(1.4-1.6),用矩阵形式表示
[hxhyhz]=[∑mi(b2+c2)∑−miab∑−miac∑−miab∑mi(a2+c2)∑−mibc∑−miac∑−mibc∑mi(a2+b2)][wxwywz]=[Ixx−Ixy−Ixz−IyxIyy−Iyz−Izx−IzyIzz][wxwywz](1.7)\begin{aligned} \begin{bmatrix} hx \\ hy \\ hz \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \sum m_i(b^2+c^2)& \sum -m_iab & \sum -m_iac \\ \sum -m_iab & \sum m_i(a^2+c^2)& \sum -m_ibc \\ \sum -m_iac & \sum -m_ibc & \sum m_i(a^2+b^2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{1.7} ⎣⎡hxhyhz⎦⎤=⎣⎡∑mi(b2+c2)∑−miab∑−miac∑−miab∑mi(a2+c2)∑−mibc∑−miac∑−mibc∑mi(a2+b2)⎦⎤⎣⎡wxwywz⎦⎤=⎣⎡Ixx−Iyx−Izx−IxyIyy−Izy−Ixz−IyzIzz⎦⎤⎣⎡wxwywz⎦⎤(1.7)
至此，转动惯量J(moment of inertia)终于出现了，可以将其理解成转动世界中的质量(mass of inertia),并且转动惯量矩阵中的每一项也全部到齐。
J=∑miri2Ixx=∑mi(bi2+ci2)Ixy=∑miaibi(1.8)\begin{aligned} J&=\sum m_ir^2_i \tag{1.8}\\ I_{xx}&=\sum m_i(b_i^2+c_i^2)\\ I_{xy}&=\sum m_ia_ib_i \end{aligned} JIxxIxy=∑miri2=∑mi(bi2+ci2)=∑miaibi(1.8)
再从wikipedia看一下转动惯量的定义[4]：

The moment of inertia, otherwise known as the mass moment of inertia, angular mass or rotational inertia, of a rigid body is a quantity that determines the torque needed for a desired angular acceleration about a rotational axis; similar to how mass determines the force needed for a desired acceleration. It depends on the body’s mass distribution and the axis chosen, with larger moments requiring more torque to change the body’s rate of rotation.

1)转动惯量是物体固有特性，决定使得一个物体具有角加速度所需要的转矩，没有方向;\color{red}{1)转动惯量是物体固有特性，决定使得一个物体具有角加速度所需要的转矩，没有方向;}1)转动惯量是物体固有特性，决定使得一个物体具有角加速度所需要的转矩，没有方向;
2)转动惯量受物体质量分布和坐标系选取的影响;\color{red}{2)转动惯量受物体质量分布和坐标系选取的影响;}2)转动惯量受物体质量分布和坐标系选取的影响;

2 转动惯量

现在我们得到了一种旋转的情况下的转动惯量，在下面这个部分，需要以一个基本的转动惯量公式为基础，进而得到更多的情况下的转动惯量结果。

2.1 平移

2.1.1 平行轴定理

旋转轴发生变化
当旋转轴发生变化时，每个子部分mim_imi到旋转轴的距离rir_iri会发生很大的变化，有一种特殊的情况容易处理，两个轴是平行的。假定经过o1旋转轴的转动惯量J=∑miri2J=\sum m_ir_i^2J=∑miri2,绕o2旋转轴的转动惯量仍然从角动量出发进行推导
H‾2=∑(d‾+ri‾)2miwp^=∑ri2miwp^+∑d2miwp^+∑2d‾∗ri‾miwp^(2.1)\begin{aligned} \overline{H}_2 &=\sum (\overline{d}+\overline{r_i})^2 m_iw\hat{p} \\ &=\sum r_i^2m_iw\hat{p}+\sum d^2m_iw\hat{p}+\sum 2\overline{d} * \overline{r_i}m_iw\hat{p} \\ \end{aligned} \tag{2.1} H2=∑(d+ri)2miwp^=∑ri2miwp^+∑d2miwp^+∑2d∗rimiwp^(2.1)
当o1是特殊的轴(principal axis)的时候，∑miri=0\sum m_ir_i=0∑miri=0,这个时候，
J2=J1+∑d2mi(2.2)J_2=J_1+\sum d^2m_i \tag{2.2} J2=J1+∑d2mi(2.2)
旋转轴不发生平移，仅仅平移坐标系
因为平移空间不变性，转动惯量和角动量都不会变化。

2.1.2 principal axis

根据公式(2.1)，principal axis满足
∑mir‾i=0∑mi(aii^+bij^+cik^)=0\begin{aligned} \sum m_i\overline{r}_i&=0 \\ \sum m_i(a_i\hat{i}+b_i\hat{j}+c_i\hat{k})&=0 \end{aligned} ∑miri∑mi(aii^+bij^+cik^)=0=0
即∑miai=0,∑mibi=0,∑mici=0\sum m_ia_i=0, \sum m_ib_i=0, \sum m_ic_i=0∑miai=0,∑mibi=0,∑mici=0
所以，1）principal axis必定过质心；

对于规则物体
例如下面这个物体，存在一个对称面principal plane, 则principal axis和对称面垂直。

2.2 旋转

旋转轴发生旋转，坐标系不变
旋转轴发生旋转，可以只看成旋转运动，发生了变换，但转动惯量I并没有变化。
HA′=IRw⃗H'_A=IR\vec{w} HA′=IRw
旋转轴不变，坐标系发生旋转
参考系旋转了一个角度之后，转动惯量本质上就是一个向量，完全当成向量变换进行处理，此时的转动惯量IBI_BIB有[3]
HB=RHA=R(Iw⃗A)=R(IRTRw⃗A)=(RIRT)w⃗B=IBw⃗B\begin{aligned} H_B&=R H_A \\ &=R(I\vec{w}_A) \\ &=R(IR^TR\vec{w}_A) \\ &=(RIR^T)\vec{w}_B \\ &=I_B\vec{w}_B \end{aligned} HB=RHA=R(IwA)=R(IRTRwA)=(RIRT)wB=IBwB

3 imbalance

解决用牛顿-欧拉法解决动力学的通常步骤：
1）确定系统的自由度，选择合适的坐标系
2）确定equation of motion
3）绘制free body diagram
4）应用力学原理，构建数学方程

3.1 坐标系选取

自由度和坐标系
下面这个系统如果两个物体只能在x轴运动，则只有两个自由度，用两个坐标系表示。
在下面这个系统中，方便计算，将三个弹簧处于静态平衡时，作为坐标系o1, o2的位置。
free body diagram
绘制fbd的时候，假设物体1，2均发生了正向运动，即x1,x2均大于0，分别分析两个物体的受力。

3.2 动不平衡和静不平衡

对于转子来说，静不平衡和动不平衡，会给系统带来vibration,影响产品性能和使用寿命。

3.2.1 平衡

先看一个平衡的例子，计算转动时的A点的转矩

方法1：τA=dH‾Adt+v‾A×P/o\tau_A=\frac{d\overline{H}_A}{dt}+\overline{v}_A\times P_{/o}τA=dtdHA+vA×P/o
HA=(−x1i^+z1k^)×(m1wk^×(−x1)i^)+(x1i^+z1k^)×(m1wk^×(x1)i^)=2mx12wk^\begin{aligned} H_A & =(-x_1\hat{i}+z_1\hat{k})\times(m_1w\hat{k}\times(-x_1)\hat{i}) \\ & +(x_1\hat{i}+z_1\hat{k})\times(m_1w\hat{k}\times(x_1)\hat{i}) \\ & = 2mx_1^2w\hat{k} \end{aligned} HA=(−x1i^+z1k^)×(m1wk^×(−x1)i^)+(x1i^+z1k^)×(m1wk^×(x1)i^)=2mx12wk^
则绕z轴的转矩
τA=2mx12w˙k^\tau_A=2mx_1^2\dot{w}\hat{k} τA=2mx12w˙k^
转矩用于使系统加速，系统自身是动平衡的。
方法2：HA=[I][wx,wy,wz]′H_A=[I][w_x, w_y, w_z]'HA=[I][wx,wy,wz]′
HA=[I][00wz]=[IxzIyzIzz]wz\begin{aligned} H_A & =[I] \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ w_z \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} I_{xz} \\ I_{yz} \\ I_{zz} \end{bmatrix}w_z \\ \end{aligned} HA=[I]⎣⎡00wz⎦⎤=⎣⎡IxzIyzIzz⎦⎤wz
容易得到力矩为：
τA=[IxzIyzIzz]w˙z=2m(x12+02)wz˙k^\begin{aligned} \tau_A&= \begin{bmatrix} I_{xz} \\ I_{yz} \\ I_{zz} \end{bmatrix}\dot{w}_z \\ & = 2m(x_1^2+0^2)\dot{w_z}\hat{k} \end{aligned} τA=⎣⎡IxzIyzIzz⎦⎤w˙z=2m(x12+02)wz˙k^
方法3：虚拟力
具体步骤比较简单，省略

3.2.2 静不平衡

静不平衡，顾名思义物体静止的时候，可能也会有转动的趋势，需要额外的力去平衡。
静平衡的要求是，物体静止的时候，在任何角度，都没有转动的趋势[1]。
如果此时，旋转轴进行旋转运动，按照方法1，2，计算A点所受的转矩。
τA=m1x1z1wz˙i^+m1x1z1wz2j^+m1x12w˙zk^−m1gx1k^\tau_A = m_1x_1z_1\dot{w_z}\hat{i}+m_1x_1z_1w_z^2\hat{j}+m_1x_1^2\dot{w}_z\hat{k}-m_1gx_1\hat{k} τA=m1x1z1wz˙i^+m1x1z1wz2j^+m1x12w˙zk^−m1gx1k^
因为A点在i^,j^\hat{i}, \hat{j}i^,j^方向上有一个转矩，所以棒在旋转的时候会vibration,如[2]视频中所示。

3.2.3 动不平衡

顾名思义，旋转起来才知道平不平衡，其满足静平衡的要求（旋转轴经过质心），但是动起来以后，需要额外的转矩去平衡。
动平衡则意味着，只要提供F去抵消物体的重力就可以在旋转时保持动平衡[1]。
让圆木棍(L>>R)的旋转轴绕y轴旋转了-45°，计算此时A点的转矩。

旋转角速度
w⃗=[−22w022w]\vec{w}= \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}w \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2}w \end{bmatrix} w=⎣⎢⎡−22w022w⎦⎥⎤
当前A点的角动量
H⃗/AA=[0000mL212000mL212][−22w022w]=22wmL212k^\begin{aligned} \vec{H}_{/AA} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{mL^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{mL^2}{12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}w \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2}w \end{bmatrix} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{2}w \frac{mL^2}{12}\hat{k} \end{aligned} H/AA=⎣⎡000012mL200012mL2⎦⎤⎣⎢⎡−22w022w⎦⎥⎤=22w12mL2k^
这里需要注意的是，坐标系Axyz一直在旋转，所以计算dH⃗dt\frac{d\vec{H}}{dt}dtdH,按照计算非惯性系下速度的方式计算的。
这里需要对H/A=∑r⃗i/A×P⃗i/O\color{red}{这里需要对H_{/A}=\sum \vec{r}_{i/A}\times \vec{P}_{i/O}}这里需要对H/A=∑ri/A×Pi/O的理解进行加深。这个公式中，坐标系仍然是0XYZ惯性坐标系，只是支点旋转了惯性坐标系下的A点。
但是本题中，Axyz不再是惯性坐标系了,用AO表示惯性坐标系下的A点\color{red}{但是本题中，Axyz不再是惯性坐标系了,用AO表示惯性坐标系下的A点}但是本题中，Axyz不再是惯性坐标系了,用AO表示惯性坐标系下的A点，AA表示非惯性坐标系Axyz下的A点。\color{red}{AA表示非惯性坐标系Axyz下的A点。}AA表示非惯性坐标系Axyz下的A点。
Hi/AO=mr⃗i/A×v⃗i/AOd(Hi/AO)dt=mr⃗i/A×d(v⃗i/AO)dt=mr⃗i/A×d(v⃗i/AA∣wAZ=0+w⃗AZ×r⃗i/A)dt=d(mr⃗i/Av⃗i/AA∣wAZ=0)dt+mr⃗i/A×w⃗AZ×v⃗i/A=dHi/AAdt+w⃗AZ×Hi/AA\begin{aligned} H_{i/AO} & = m\vec{r}_{i/A} \times \vec{v}_{i/AO} \\ \frac{d(H_{i/AO})}{dt} & = m\vec{r}_{i/A} \times \frac{d( \vec{v}_{i/AO})}{dt} \\ & = m\vec{r}_{i/A} \times \frac{d(\vec{v}_{i/AA}|_{w_{AZ}=0}+\vec{w}_{AZ} \times \vec{r}_{i/A})}{dt} \\ & = \frac{d(m\vec{r}_{i/A}\vec{v}_{i/AA}|_{w_{AZ}=0})}{dt}+m\vec{r}_{i/A} \times \vec{w}_{AZ} \times \vec{v}_{i/A} \\ & = \frac{dH_{i/AA}}{dt}+\vec{w}_{AZ} \times H_{i/AA} \end{aligned} Hi/AOdtd(Hi/AO)=mri/A×vi/AO=mri/A×dtd(vi/AO)=mri/A×dtd(vi/AA∣wAZ=0+wAZ×ri/A)=dtd(mri/Avi/AA∣wAZ=0)+mri/A×wAZ×vi/A=dtdHi/AA+wAZ×Hi/AA

dH/AOdt=dH/AAdt∣wA=0+wA×H/AA=22w˙mL212k^+w2mL224j^\begin{aligned} \frac{dH_{/AO}}{dt}&=\frac{dH_{/AA}}{dt}|_{w_A=0}+w_A \times H_{/AA} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\dot{w}\frac{mL^2}{12}\hat{k}+w^2 \frac{mL^2}{24}\hat{j} \end{aligned} dtdH/AO=dtdH/AA∣wA=0+wA×H/AA=22w˙12mL2k^+w224mL2j^
如果从向量的角度理解更加方便，H_{/AO}是一个在OXYZ惯性坐标系下的向量，现在需要求这个向量的导数，则可以直接推出上面的公式。
因为转矩的方向和旋转轴的方向不平行，旋转起来的时候会有vibration。

4 四类问题

4.1 pure rotation about fixed axis through G

旋转圆木棍(L>>R)，旋转轴刚好是principal axis，这类问题直接使用方法2，非常简便。
I=[mR212000mL212000mL212]I= \begin{bmatrix} \frac{mR^2}{12} & 0 &0 \\ 0 & \frac{mL^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{mL^2}{12} \end{bmatrix} I=⎣⎢⎡12mR200012mL200012mL2⎦⎥⎤
角动量为：
H⃗A=Iw⃗=[0000mL212000mL212][00wz]=mL212wzk^\begin{aligned} \vec{H}_A & = I\vec{w} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & \frac{mL^2}{12} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{mL^2}{12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ w_z \end{bmatrix} \\ & = \frac{mL^2}{12}w_z\hat{k} \end{aligned} HA=Iw=⎣⎡000012mL200012mL2⎦⎤⎣⎡00wz⎦⎤=12mL2wzk^
A点所受转矩
τA=dHAdt=mL212w˙zk^\begin{aligned} \tau_A &= \frac{dH_A}{dt} \\ & = \frac{mL^2}{12}\dot{w}_z\hat{k} \end{aligned} τA=dtdHA=12mL2w˙zk^

4.2 pure rotation about fix axis @A≠GA\ne GA=G

绕长方体木块AZ轴进行旋转，计算A点所受的转矩。
长方形木块是规则物体，其principal axis的转动惯量可以查表获取为：
I/G=[a2+b212m000a2+c212m000b2+c212m]I_{/G}= \begin{bmatrix} \frac{a^2+b^2}{12}m & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a^2+c^2}{12}m & 0 \\ 0 & 0 & \frac{b^2+c^2}{12}m \end{bmatrix} I/G=⎣⎢⎡12a2+b2m00012a2+c2m00012b2+c2m⎦⎥⎤
坐标系变换成AXYZ以后，Izz/A=Izz/G+md2I_{zz/A}=I_{zz/G}+md^2Izz/A=Izz/G+md2转动惯量变成
I/A=[a2+b212m000a2+c212m000b2+c212m+md2]I_{/A}= \begin{bmatrix} \frac{a^2+b^2}{12}m & 0 & 0 \\ 0 & \frac{a^2+c^2}{12}m & 0 \\ 0 & 0 & \frac{b^2+c^2}{12}m+md^2 \end{bmatrix} I/A=⎣⎢⎡12a2+b2m00012a2+c2m00012b2+c2m+md2⎦⎥⎤
A点所受转矩为：
τA=dHAdt=d(Izz/Awz)dt=Izz/Aw˙z=−mgdsin(θ)\begin{aligned} \tau_A & =\frac{dH_A}{dt} \\ & = \frac{d(I_{zz/A}w_z)}{dt} \\ & = I_{zz/A}\dot{w}_z=-mgdsin(\theta) \end{aligned} τA=dtdHA=dtd(Izz/Awz)=Izz/Aw˙z=−mgdsin(θ)

4.3 No external constraints

在没有任何物理限制的情况下，计算拖动F的一瞬间，A所受的转矩。
没有作用在旋转轴上的外力F，效果上等效于作用在旋转轴上的外力F加转矩T=Fd。

物体受力有
∑Fext=max/A=F\begin{aligned} \sum F_{ext}=ma_{x/A}=F \end{aligned} ∑Fext=max/A=F
物体在A点处的转矩
τ⃗A=Izzw˙k^=−FRk^\vec{\tau}_A=I_zz\dot{w}\hat{k}=-FR\hat{k} τA=Izzw˙k^=−FRk^

4.4 Bodies with moving points of constraints

下面这个圆盘在上抛的旋转，根据定义，如果坐标系建在G点，则物体角动量为
H⃗i/GO=∑r⃗i/G×miv⃗i/GO\vec{H}_{i/GO}=\sum \vec{r}_{i/G} \times m_i \vec{v}_{i/GO} Hi/GO=∑ri/G×mivi/GO
更改坐标系到A点，物体本身的运动没有发生任何变化，则物体角动量为
H/A=∑(rG/A+ri)×mivi=∑ri×mivi+∑rG/A×mivi=H/G+rG/A×P/o\begin{aligned} H_{/A} &=\sum (r_{G/A}+r_i) \times m_i v_i \\ & = \sum r_i \times m_i v_i + \sum r_{G/A} \times m_i v_i \\ & = H_{/G}+r_{G/A}\times P_{/o} \end{aligned} H/A=∑(rG/A+ri)×mivi=∑ri×mivi+∑rG/A×mivi=H/G+rG/A×P/o
因为角动量不具有空间不变性，这个公式可以解决坐标系位移情况下，角动量的计算。

example 1
小车上有一个圆柱体在滚动，圆柱体和小车的摩擦力未知。
运动学上的关系有
x2=x1−rθx¨2=x¨1−rθ¨\begin{aligned} x_2 & =x_1-r\theta \\ \ddot{x}_2&=\ddot{x}_1-r\ddot{\theta} \end{aligned} x2x¨2=x1−rθ=x¨1−rθ¨
本问题最关键的是坐标系的放置，坐标系如果在G点，则摩擦力会无法忽视，所以只能将坐标系放在A点。
H⃗/A=H⃗/G+R⃗G/A×P⃗/o=Izz/Gwzk^−mrx˙2k^\begin{aligned} \vec{H}_{/A} & =\vec{H}_{/G}+\vec{R}_{G/A}\times \vec{P}_{/o} \\ & = I_{zz/G}w_z\hat{k}-mr\dot{x}_2\hat{k} \\ \end{aligned} H/A=H/G+RG/A×P/o=Izz/Gwzk^−mrx˙2k^
计算A点的转矩
τ⃗A=d(H⃗A)dt=Izz/Gw˙zk^−mrx¨2k^=Izz/Gθ¨zk^−mrx¨1k^+mr2θ¨k^=0\begin{aligned} \vec{\tau}_A & = \frac{d(\vec{H}_{A})}{dt} \\ & = I_{zz/G}\dot{w}_z\hat{k}-mr\ddot{x}_2\hat{k} \\ & = I_{zz/G}\ddot{\theta}_z\hat{k}-mr\ddot{x}_1\hat{k}+mr^2\ddot{\theta}\hat{k} = 0 \end{aligned} τA=dtd(HA)=Izz/Gw˙zk^−mrx¨2k^=Izz/Gθ¨zk^−mrx¨1k^+mr2θ¨k^=0
得到了最终的动力学公式：
θ¨=mrx¨1mr2+Izz/G\ddot{\theta}=\frac{mr\ddot{x}_1}{mr^2+I_{zz/G}} θ¨=mr2+Izz/Gmrx¨1
example 2
下面是一个推木箱的例子，小木箱放置在大木箱上，且在A点有一个阻挡物，问多大的F才能使得小木箱翻倒？
因为A点的受力非常复杂，所以将坐标系放在A点，计算转矩时，这些复杂的受力都可以不考虑了。
利用方法2，先计算物体相对于Axyz的角动量
H⃗/A=H⃗/G+(0.5bi^+0.5hj^)×(mx˙i^)=Izz/Gwzk^−0.5mhx˙k^\begin{aligned} \vec{H}_{/A}&=\vec{H}_{/G}+(0.5b\hat{i}+0.5h\hat{j}) \times (m\dot{x}\hat{i}) \\ & = I_{zz/G}w_z\hat{k}-0.5mh\dot{x}\hat{k} \end{aligned} H/A=H/G+(0.5bi^+0.5hj^)×(mx˙i^)=Izz/Gwzk^−0.5mhx˙k^
因为v⃗A\vec{v}_AvA和v⃗G\vec{v}_GvG同向，v⃗A×P⃗/o=0\vec{v}_A \times \vec{P}_{/o}=0vA×P/o=0,计算转矩
τ⃗A=dH/Adt+v⃗A×P⃗/o=Izz/Gwzk^−0.5mhx¨k^=−0.5mgbk^\begin{aligned} \vec{\tau}_A&=\frac{dH_{/A}}{dt}+\vec{v}_A \times \vec{P}_{/o} \\ &=I_{zz/G}w_z\hat{k}-0.5mh\ddot{x}\hat{k}=-0.5mgb\hat{k} \end{aligned} τA=dtdH/A+vA×P/o=Izz/Gwzk^−0.5mhx¨k^=−0.5mgbk^

因为小木箱刚翻滚的一瞬间，接触面的支持力为0，并且wz=0w_z=0wz=0,得到F为
F=(m+M)x¨=(m+M)gbhF=(m+M)\ddot{x}=(m+M)g\frac{b}{h} F=(m+M)x¨=(m+M)ghb

这道题如果用方法3，虚拟力去计算非常的简单。

references

[1] https://www.renown-electric.com/blog/whats-the-difference-between-static-dynamic-balancing/
[2] https://www.youtube.com/watch?v=JB8i7LtY3mU
[3] http://www.kwon3d.com/theory/moi/triten.html
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia

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1 Introduction

2 转动惯量

2.1 平移

2.1.1 平行轴定理

2.1.2 principal axis

2.2 旋转

3 imbalance

3.1 坐标系选取

3.2 动不平衡和静不平衡

3.2.1 平衡

3.2.2 静不平衡

3.2.3 动不平衡

4 四类问题

4.1 pure rotation about fixed axis through G

4.2 pure rotation about fix axis @A≠GA\ne GA=G

4.3 No external constraints

4.4 Bodies with moving points of constraints

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