★☆【二分圖最佳匹配】丘比特的煩惱

随着社会的不断发展，人与人之间的感情越来越功利化。最近，爱神丘比特发现，爱情也已不再是完全纯洁的了。这使得丘比特很是苦恼，他越来越难找到合适的男女，并向他们射去丘比特之箭。于是丘比特千里迢迢远赴中国，找到了掌管东方人爱情的神——月下老人，向他求教。月下老人告诉丘比特，纯洁的爱情并不是不存在，而是他没有找到。在东方，人们讲究的是缘分。月下老人只要做一男一女两个泥人，在他们之间连上一条红线，那么它们所代表的人就会相爱——无论他们身处何地。而丘比特的爱情之箭只能射中两个距离相当近的人，选择的范围自然就小了很多，不能找到真正的有缘人。丘比特听了月下老人的解释，茅塞顿开，回去之后用了人间的最新科技改造了自己的弓箭，使得丘比特之箭的射程大大增加。这样，射中有缘人的机会也增加了不少。情人节(Valentine's day)的午夜零时，丘比特开始了自己的工作。他选择了一组数目相等的男女，感应到他们互相之间的缘分大小，并依此射出了神箭，使他们产生爱意。他希望能选择最好的方法，使被他选择的每一个人被射中一次，且每一对被射中的人之间的缘分的和最大。当然，无论丘比特怎么改造自己的弓箭，总还是存在缺陷的。首先，弓箭的射程尽管增大了，但毕竟还是有限的，不能像月下老人那样，做到“千里姻缘一线牵”。其次，无论怎么改造，箭的轨迹终归只能是一条直线，也就是说，如果两个人之间的连线段上有别人，那么莫不可向他们射出丘比特之箭，否则，按月下老人的话，就是“乱点鸳鸯谱”了。作为一个凡人，你的任务是运用先进的计算机为丘比特找到最佳的方案。输入文件格式：输入文件第一行为正整数k，表示丘比特之箭的射程，第二行为正整数n(n<30)，随后有2n行，表示丘比特选中的人的信息，其中前n行为男子，后n行为女子。每个人的信息由两部分组成：他的姓名和他的位置。姓名是长度小于20且仅包含字母的字符串，忽略大小写的区别，位置是由一对整数表示的坐标，它们之间用空格分隔。格式为Name x y。输入文件剩下的部分描述了这些人的缘分。每一行的格式为Name1 Name2 p。Name1和Name2为有缘人的姓名，p是他们之间的缘分值(p为小于等于255的正整数)。以一个End作为文件结束标志。每两个人之间的缘分至多只被描述一次。如果没有被描述，则说明他们缘分值为1。输出文件格式：输出文件仅一个正整数，表示每一对被射中的人之间的缘分的总和。这个和应当是最大的。输入样例(cupid.in)：
2
3
0 0 Adam
1 1 Jack
0 2 George
1 0 Victoria
0 1 Susan
1 2 Cathy
Adam Cathy 100
Susan George 20
George Cathy 40
Jack Susan 5
Cathy Jack 30
Victoria Jack 20
Adam Victoria 15
End输出样例(cupid.out)：
65

這是一道最佳匹配問題，用KM算法可以解決。

首先建圖，若兩點距離大於d或連線中有第三者，則權值賦為負無窮，保證這條邊永遠不能被取到。

具體細節見程序注釋。

Accode：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <bitset>
#include <map>
using namespace std;const char fi[] = "cupid.in";
const char fo[] = "cupid.out";
const int maxN = 50;
const int MAX = 0x3fffff00;
const int MIN = -MAX;map <string, int> _boy, _girl;
int w[maxN][maxN];
int lx[maxN], ly[maxN];
int bx[maxN], by[maxN];
int gx[maxN], gy[maxN];
int Link[maxN];
bitset <maxN> boy, girl;
int n, d, t;
string str, str1, str2;void init_file(){freopen(fi, "r", stdin);freopen(fo, "w", stdout);std::ios::sync_with_stdio(false);}inline bool line(int x1, int y1,int x2, int y2, int x3, int y3){int _x1 = x2 - x1;int _y1 = y2 - y1;int _x2 = x2 - x3;int _y2 = y2 - y3;if (_x1 * _y2 != _y1 * _x2)return false;if (_x1 * _x2 + _y1 * _y2 < 0)return true;return false;} //判斷(x2, y2)是否在(x1, y1)與(x3, y3)的連線上。inline int sqr(int x) {return x * x; }inline void ltu(string &str){string::iterator iter;for (iter = str.begin();iter != str.end(); ++iter)if ((*iter) >= 'a' && (*iter) <= 'z')(*iter) -= 'a' - 'A';} //小寫轉大寫。void readdata(){cin >> d >> n;for (int i = 1; i < n + 1; ++i){cin >> bx[i] >> by[i] >> str;ltu(str);_boy.insert(make_pair(str, i));}for (int j = 1; j < n + 1; ++j){cin >> gx[j] >> gy[j] >> str;ltu(str);_girl.insert(make_pair(str, j));}while (1){cin >> str1 >> str2 >> t;ltu(str1); ltu(str2);//由於題目中忽略大小寫，所以將小寫全部轉化為大寫。if (str1 == "END") break;if (_boy.find(str1) == _boy.end())swap(str1, str2);w[_boy[str1]][_girl[str2]] = t;}}void Modify(){for (int i = 1; i < n + 1; ++i)lx[i] = MIN;//頂標初始為負無窮。for (int i = 1; i < n + 1; ++i)for (int j = 1; j < n + 1; ++j){if (!w[i][j]) w[i][j] = 1;if (sqr(bx[i] - gx[j])+ sqr(by[i] - gy[j]) > sqr(d)){w[i][j] = MIN; continue; }if (w[i][j] > 0){for (int i1 = 1; i1 < n + 1; ++i1)if (i != i1)if (line(bx[i], by[i], bx[i1],by[i1], gx[j], gy[j])){w[i][j] = MIN; break; }} else continue;//枚舉查看連線中間是否有其他男生。if (w[i][j] > 0){for (int j1 = 1; j1 < n + 1; ++j1)if (j != j1)if (line(bx[i], by[i], gx[j1],gy[j1], gx[j], gy[j])){w[i][j] = MIN; break; }} else continue;//枚舉查看連線中間是否有其他女生。lx[i] = max(lx[i], w[i][j]);//更新頂標。}}bool Find(int u){boy.set(u);for (int v = 1; v < n + 1; ++v)if (lx[u] + ly[v] == w[u][v]&& !girl.test(v)){girl.set(v);if (!Link[v] || Find(Link[v])){Link[v] = u; return true; }}return false;}void work(){for (int k = 1; k < n + 1; ++k)while (1){boy.reset();girl.reset();if (Find(k)) break;int Min = MAX;for (int i = 1; i < n + 1; ++i)if (boy.test(i))for (int j = 1; j < n + 1; ++j)if (!girl.test(j))Min = min(Min, lx[i]+ ly[j] - w[i][j]);for (int i = 1; i < n + 1; ++i){if (boy.test(i)) lx[i] -= Min;if (girl.test(i)) ly[i] += Min;}}int ans = 0;for (int j = 1; j < n + 1; ++j)ans += w[Link[j]][j];printf("%d", ans);}int main()
{init_file();readdata();Modify();work();exit(0);
}

第二次做：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <map>
using namespace std;const char fi[] = "cupid.in";
const char fo[] = "cupid.out";
const int maxN = 40;
const int MAX = 0x3f3f3f3f;
const int MIN = ~MAX;struct vec
{int x, y;vec() {}vec(int x, int y): x(x), y(y) {}vec operator-(const vec &b) const{return vec(x - b.x, y - b.y);}int operator+(const vec &b) const{return x * b.x + y * b.y;}int operator*(const vec &b) const{return x * b.y - y * b.x;}int norm() const {return x * x + y * y;}bool btwn(const vec &A, const vec &B) const{vec OA = vec(A.x - x, A.y - y),OB = vec(B.x - x, B.y - y);return !(OA * OB) && OA + OB < 0;}
};
map <string, int> _boy, _girl;
vec boy[maxN], girl[maxN];
bool b[maxN], g[maxN];
int lx[maxN], ly[maxN], Link[maxN];
int mp[maxN][maxN], n, K;void init_file()
{freopen(fi, "r", stdin);freopen(fo, "w", stdout);return;
}void readdata()
{cin >> K >> n;for (int i = 0; i < n; ++i){int x, y; string str;cin >> x >> y >> str;boy[i] = vec(x, y);transform(str.begin(), str.end(),str.begin(), ::tolower);//将一个string类型转换为小写。_boy[str] = i;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x, y; string str;cin >> x >> y >> str;girl[i] = vec(x, y);transform(str.begin(), str.end(),str.begin(), ::tolower);_girl[str] = i;Link[i] = -1;}int w; string s1, s2;while (cin >> s1 >> s2 >> w){transform(s1.begin(), s1.end(),s1.begin(), ::tolower);transform(s2.begin(), s2.end(),s2.begin(), ::tolower);if (_boy.find(s1) == _boy.end())swap(s1, s2);mp[_boy[s1]][_girl[s2]] = w;}return;
}void modify()
{for (int i = 0; i < n; ++i)for (int j = 0; j < n; ++j){if (!mp[i][j]) mp[i][j] = 1;if ((boy[i] - girl[j]).norm() > K * K){mp[i][j] = MIN; continue;}if (mp[i][j] > 0)for (int i1 = 0; i1 < n; ++i1)if (i1 != i && boy[i1].btwn(boy[i], girl[j])){mp[i][j] = MIN; break;}if (mp[i][j] > 0)for (int j1 = 0; j1 < n; ++j1)if (j1 != j && girl[j1].btwn(boy[i], girl[j])){mp[i][j] = MIN; break;}lx[i] = max(lx[i], mp[i][j]);} //当不能连边时一定要把权值设为负无穷。return;
}bool Find(int i)
{b[i] = 1;for (int j = 0; j < n; ++j)if (lx[i] + ly[j] == mp[i][j] && !g[j]){g[j] = 1;if (Link[j] == -1 || Find(Link[j])){Link[j] = i;return 1;}}return 0;
}void work()
{for (int k = 0; k < n; ++k)while (1){memset(b, 0, sizeof b);memset(g, 0, sizeof g);if (Find(k)) break;int Min = MAX;for (int i = 0; i < n; ++i) if (b[i])for (int j = 0; j < n; ++j) if (!g[j])Min = min(Min, lx[i] + ly[j] - mp[i][j]);for (int i = 0; i < n; ++i){if (b[i]) lx[i] -= Min;if (g[i]) ly[i] += Min;}}int ans = 0;for (int j = 0; j < n; ++j)ans += mp[Link[j]][j];printf("%d\n", ans);return;
}int main()
{init_file();readdata();modify();work();return 0;
}

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