输油管道问题（分治算法）

2024-04-24 00:55:50

让我们来看一条算法问题：

题目描述：某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n 口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n 口油井的位置,即它们的x 坐标（东西向）和y 坐标（南北向）,应如何确定主管道的最优位置, 即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置?给定n 口油井的位置,编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

输入：首行为油井数量n，其他行为每口油井的横坐标xi,纵坐标yi
输出：油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

解析：

看完题目我们脑海里首先出现的就是一个平面坐标轴，并且只有第一象限。而因为输油管道是从东向西的平行于x轴的一条直线，那么其解析式必然是y=n（n为常数）。

然后现在问题是要让所有油井到输油管道的距离之和最短，距离就是纵坐标之差的绝对值，所以距离之和纵坐标有关，所以横坐标与本题的关系不大。

要距离之和最短，很明显，管道的纵坐标肯定是介于最小纵坐标和最大纵坐标之间的一个值。所以我们在输入所有的纵坐标之后，通过排序知道最大的纵坐标和最小的纵坐标之后，便可以从最小值开始进行尝试。定义一个整型，并将最小值作为油管时的距离之和作为初值。一个个试，若距离之和小于这个变量，便将其替换，最后输出最小值。

理清主要思路之后我们就可以开始写代码了。

我就用C++来写了

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
int n;//输入油井个数，用来定义数组。
int a[100];//横坐标。
int b[100];//纵坐标。
int ma,mi;//记录纵坐标的最大值。
int re=100;//最终的最优结果。
int sum=0;//每次的长度总和。
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>b[i]>>a[i];
} //输入油井数量和分别的横纵坐标值。
ma=a[0];
mi=a[0]; //先定义最大和最小值。
for(int i=0;i<n;i++){
if(a[i]>ma){
ma=a[i];
}
if(a[i]<mi){
mi=a[i];
}
} //找到最大值和最小值。
for(int i=mi;i<ma+1;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
if(a[j]>i){
sum=sum+(a[j]-i);
}
else{
sum=sum+i-a[j];
}
}
if(sum<re){
re=sum;
sum=0;
}
} //计算每个位置长度之和，并求得最优解。
cout<<re;
}

这个问题就这么解决了。

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