是不是跟普通的复数z一样，但z的虚部和实部却可以当作是一组二维向量，落在复平面上，为什么四元数在三维的面上，不是i，j，k三个基向量，而是复数呢，怎么想到单位四元数和四元数相乘是旋转呢？有什么论文文献么，适合没学过的？

作者：知乎用户

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看Naive Lie Theory，第一章就解决了你的问题，适合没学过的看

事实上可以将单位纯四元数 xi+yj+zkxi+yj+zk 对应到三维空间的球面 S2S^2 上的单位向量v→=(x,y,z)\vec{v}=(x,y,z) ，

而一个四元数可以看成是标量和纯四元数（写成向量）的线性组合a+bv→a+b\vec{v} ，一个模为1的四元数，标量的平方和纯四元数模的平方和为1，也就是说 a2+b2=1a^2+b^2=1

因此，标量对应一个角的余弦，纯四元数部分模对应同个角的正弦，于是有 a+bv→=cos⁡θ+sin⁡θv→a+b\vec{v}=\cos \theta+\sin\theta\vec{v} ，这样的形式和单位复数cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta 是类似的

复数乘复数，意味着复数的旋转；四元数乘一个纯四元数，意味着对三维空间内一个向量的线性映射，但却不是简单的旋转

事实上，旋转应该是这样的： (cos⁡θ2+sin⁡θ2v→)⋅n→⋅(cos⁡θ2−sin⁡θ2v→)(\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}\vec{v})\cdot\vec{n}\cdot(\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{\theta}{2}\vec{v})

这代表着 n→\vec{n} 绕 v→\vec{v} 逆时针（这里有错，看评论区）旋转 θ\theta

不过，当 θ=π\theta=\pi 时，我们会发现取转轴为 −v→-\vec{v} ，逆时针旋转−π-\pi 也是一样的

实际上也就是说明了 SU(2)SU(2) 有一个到 SO(3)SO(3) 的群满同态，核为 {I,−I}\{I,-I\} ，当然，这都是结论，上面说明得完全不严谨。

证明过程不难，题主自己去看吧。

补充一下， SU(2)SU(2) 的元素是行列式为1的二阶复矩阵(a1+a2ia3−a4i−a3−a4ia1−a2i)\left(\begin{array}{}a_1+a_2i&a_3-a_4i\\-a_3-a_4i&a_1-a_2i\end{array}\right)

其中 ai∈Ra_i\in\mathbb{R}

可以看出来 (a1+a2ia3+a4i−a3+a4ia1−a2i)=a1(1001)+a2(i00−i)+a3(01−10)+a4(0ii0)\left(\begin{array}{}a_1+a_2i&a_3+a_4i\\-a_3+a_4i&a_1-a_2i\end{array}\right)=a_1\left(\begin{array}{}1&0\\0&1\end{array}\right)+a_2\left(\begin{array}{}i&0\\0&-i\end{array}\right)+a_3\left(\begin{array}{}0&1\\-1&0\end{array}\right)+a_4\left(\begin{array}{}0&i\\i&0\end{array}\right)

等价于 a1+a2i+a3j+a4ka_1+a_2i+a_3j+a_4k

前一个 ii 是纯虚根，后一个是四元数的基

SO(3)SO(3) 代表 R3\mathbb{R}^3 中的旋转

这是抽象代数，三元数不满足结合律。具体看这个

后来证明多元数，有时候必须抛弃掉一些基本运算定律才能构造构筑成体系

四元数相当于三维空间以原点为中心进行伸缩旋转，这就是四元数的几何意义，这也是为了解决问题硬把四元数代数和几何往一起靠拢，而形成的对应关系。在其他物理现象中还有其他意义。例如相对论中第四维是时间，或者加速度，加速度的方向等等

https://www.zhihu.com/question/351376582

四维以上含四维就没有几何形象，只是沿用几何术语，抽象理解，所以四元数没必要深究第四维的几何意义了但是可以考虑时间，加速度等意义

也就是高于4维模长没有几何意义，只有抽象的模长意义。同理理解高维的其他大于3维的各个维的分量的抽象意义

https://www.renrendoc.com/paper/104820044.html