如何理解三维曲面的法线向量公式？

作者：玟清
链接：https://www.zhihu.com/question/34019475/answer/57764660
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原答案如下（其实是错的）：

三维空间中的曲面 $F(x,y,z)=c$ 可理解为三维空间中的标量场 $F(x,y,z)$ 的等值面， $\nabla F=(F_x,F_y,F_z)$

是每一点处的梯度，也就是值的变化最大的方向，直观上就是该等值面的法向方向。

考虑全微分公式

$\begin{align*} dF &=F(x+dx,y+dy,z+dz)-F(x,y,z) \\ &=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz \\ &=F_xdx+F_ydy+F_zdz \end{align*}$

若 $(x+dx,y+dy,z+dz)$ 和 $(x,y,z)$ 都在曲面 $F=c$ 上，则 $dF=0$ ，于是 $(F_x,F_y,F_z)\cdot(dx,dy,dz)=0$

即 $(F_x,F_y,F_z)$ 与曲面上的 $(x,y,z)$

附近的任意极小线段垂直，即它是曲面的法向量。写得不严格，大致是这么个意思。

和拉格朗日乘子没直接关系吧，即使有关系，也是通过 $\nabla$ 的间接关系。算子 $\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$ 的各种运算和含义，需要在一些例子中理解，在任何一本微积分教材中都会涉及。初学的时候基本上都要死记一些，后面熟了之后才会理解。

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为什么上述答案是错的呢？因为它把一些似是而非的概念揉在了一起。正确答案应该是：

梯度的定义是：对任意 $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3$ ， $(\nabla f)\cdot\boldsymbol{v}=\nabla_{\boldsymbol{v}}f$ ，其中 $\nabla_{\boldsymbol{v}}f$ 指 $f$ 在 $\boldsymbol{v}$ 方向上的方向导数。点乘和方向导数都是有明确定义的 ( $\boldsymbol{v}$ 方向上的方向导数可理解为 $f(\boldsymbol{x}+\alpha\boldsymbol{v})$ 对 $\alpha$ 求导)，且不依赖于具体的坐标系，因而梯度是不依赖于具体坐标系的。
对于曲面 $F(x,y,z)=c$ ，一点处的切平面上的任一矢量 $\boldsymbol{v}$ ，满足 $\nabla_{\boldsymbol{v}}F=0$ ，因而 $(\nabla F)\cdot\boldsymbol{v}=0$ ，即梯度与切平面垂直。

所以，梯度的定义实际上就规定了它的唯一方向：与切平面垂直。那么原答案错的何处呢？

考虑曲面时，全微分没意义。处理曲面的工具是微分几何，依据是切平面上的局部坐标系，而全微分显然用了全局坐标系。
如果一定要用全局坐标系，并把dx,dy,dz理解坐标微元，它们显然与切平面不对齐。强制要求它们与切平面对齐，就得到一个处处变化的局部坐标系，实际上又回到了微分几何那一套。

那为什么一般都用 $\nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$ 这个偏微分定义呢？它用的好像是全局坐标呀？

如果不考虑曲面性质，用全局坐标并无不妥。因为梯度与坐标系无关，这个定义只是它在一个具体坐标系下的表现形式。
为什么是这个形式呢？我们从梯度的原始定义出发，欲求梯度，需要先求切平面方程。对于曲面 $F(x,y,z)=c$ ，它在某点 $(x,y,z)$ 处的切平面方程的形式为 $Ax+By+Cz=d$ ，这实际上是 $F(x,y,z)$ 的一阶近似，因而系数就是那三个偏微分，这也就是梯度的偏微分定义的来源。

编辑于 2017-04-06

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