群实质上是集合加上满足群公理的乘法运算的数学实体。现在我们将其推广，在集合上加上不同的附加结构(不同公理)，研究可能形成的代数系及其性质。

一、 自然数

自然数$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}$我们再熟悉不过了，它满足如下性质：

(i) 有序性: $\mathbb{N}$按“$\geq$”可以形成一个次序关系

(ii) 无限性: $\mathbb{N}$是无限集。它里面的数若按大小次序排列，则在任一数后面，一定还有一个数。

(iii) 自然数的最小性: $\mathbb{N}$的任意非空子集$S$中有最小数。

(iV) 有限归纳原理:  设$S\subseteq \mathbb{N}$，数$1\in S$，若由$n-1\in S$能推出$n\in S$，则有$S=\mathbb{N}$.

上述性质对物理工作者显然，重要的是自然数集中蕴含的代数结构。自然数对加法运算封闭，然而不存在逆元，因而零元的意义也不大了。我们将群的四条公理简化成如下两条，可得到一个新的代数结构.

定义　　集合$G=\{a,b,c,...\}$及其中一个运算，构成一个半群，如果它满足：

(i) 运算的封闭性

(ii) 运算的结合律

此外，如果运算还满足交换律，称$G$为Abel半群或可换半群。自然数集对于加法运算，就是一个Abel半群。

二、 整数

整数相比自然数多了负整数，因此这个代数结构对于加法就有了逆元。因此整数集对于加法运算而言是个Abel群。那么我们再来看看整数中的乘法，显然整数对乘法无逆元，但它满足

(i)封闭性　　(ii)结合律　　(iii)交换律　　(iV)单位元

因此整数集对乘法是具有单位元的Abel半群。

如果我们同时考虑加法和乘法，就有了一个新的代数系概念。首先明确分配率的定义:

左分配律$a\circ (b+c)=a\circ b+a\circ$, 右分配律$(b+c)\circ a=b\circ a+c\circ a$.

定义　　集合$K$有加法运算($+$)和乘法运算($\circ$)，并满足

(i) $(K,+)$构成Abel群

(ii) $(K,\circ )$构成半群

(iii) $(K,+,\circ )$满足左、右分配律

则称$(K,+,\circ )$构成一个环。

(iV) 如果$(K,\circ )$同时满足交换律，则称$(K,+,\circ )$是一个Abel环。

$(\mathbb{Z},+,\circ )$是一个有单位元的Abel环，所有偶数构成偶数环，但没有单位元。

矩阵元为实数的$n\times n$阶矩阵的全体$gl(n,\mathbb{R})$对于矩阵的加法和乘法是一个非Abel环，有单位元(即单位阵)。

注意到，对于$(\mathbb{Z},\circ )$，只要$c\neq 0$,有$c\circ a=c\circ b\,\Rightarrow a=b$. 此性质称为消去律。由此我们可以定义整域。

定义满足消去律的Abel环，称为整域。

三、 有理数

在整域中，有个相对奇异的点$0$。即使引入有理数，$0$的逆元也不存在。因此恰当的做法是使除去$0$以外的元素对乘法成群。为此，我们如下定义：

定义　　一个环$K$，假如含有非零的元，而且$K-\{0\}$构成Abel乘群，就称为域。我们将域记作$(K,+,\circ )$.

有理数集合$\mathbb{Q}=\{\frac{q}{p}|q,p\in\mathbb{Z},\,p\neq 0\}$是整数$\mathbb{Z}$的扩展。$(\mathbb{Q},+,\circ )$形成一个域，称为有理数域。

四、 实数

对于有理数，由于逆元对加法和乘法都存在，有理数的加减乘除均可定义。但是对于开方运算，有理数不封闭。为此我们考虑对有理数域$\mathbb{Q}$扩展，将无理数扩充至其中，形成新的实数域$\mathbb{R}$.

定理3.3　　实数域$\mathbb{R}$是不可数的。

定义　　若集合$S$与$\mathbb{R}$有相等的浓度，则称$S$具有连续势。

五、 复数

定义　　给定集合$\mathbb{C}=\{\alpha=(a,b)|(a,b\in \mathbb{R})\}$，其中加法运算为$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$.

乘法运算为$(a,b)\circ (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$. 此时$(\mathbb{C},+,\circ )$构成一个数域，称为复数域。

定理3.4(代数基本定理)　　任意复系数多项式都具有一个复根。

推论　　复数域$\mathbb{C}$上任意多项式的所有根均在$\mathbb{C}$中。因此我们把复数域称为代数封闭域。