【GDSOI2017】魔兽争霸 x

Description

Solution

这道题转换一下模型其实就是有很多个带权向量，然后给你一个矩形，给每个向量加一个系数，使得长宽都不超过矩形且权值和最大。
很容易就可以证明出来只需要两个向量就可以了，如果有第三个有系数的，那么就说明这种情况的时候第三个更优，那么还不如直接用第三个替换掉一个。
那么我们现在知道了只用选两个，那么我们该怎么去做这道题？
首先肯定要n2n^2的去枚举，然后我们知道了两个向量之后，就需要列方程了。
y=min(HP−x∗a[i]a[j],MP−x∗b[i]b[j])c[j]+x∗∗c[i]y=min({HP-x*a[i]\over a[j]},{MP-x*b[i]\over b[j]})c[j]+x**c[i]设x为i向量的系数，然后y是权值和。
那么现在有两种情况，一个是min左边的小，另一个是min右边的小。
那么我们可以分别考虑一下，可以把min左边的和右边的分别抽出来。
当HP−x∗a[i]a[j]<MP−x∗b[i]b[j]{HP-x*a[i]\over a[j]}的时候就会选左边
此时分界点x′=MPa[j]−HPb[j]b[i]a[j]−b[j]a[i]x'={{MPa[j]-HPb[j]}\over {b[i]a[j]-b[j]a[i]}}
当x<=x’的时候，y=(c[i]−a[i]∗c[j]a[j])x+c[j]∗HPa[j]y=(c[i]-{a[i]*c[j]\over a[j]})x+{c[j]*HP\over a[j]}
当x>=x’的时候，y=(c[i]−b[i]∗c[j]b[j])x+c[j]∗MPb[j]y=(c[i]-{b[i]*c[j]\over b[j]})x+{c[j]*MP\over b[j]}
因为现在考虑必须选i向量的情况，所以lim<=min(MPb[i],HPa[i])lim
如果当前要选则的范围不在lim范围内，那么就不能选。
对于上面y的等式，无论哪边小，最优值都是x’,因为要考虑的是当前选择i向量的最优情况，都必须在斜率的正负性倾向于i向量的方向选择，否则以i向量为主体就没有意义了，这个自己对着上面的斜率分析一下就好了。

Code

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=2007;
typedef double db;
int i,j,l,t,n,m,cas,w1,w2;
db a[maxn],b[maxn],c[maxn],H,M,an[maxn],ans,x,xx,y,k,bb,lim,an1,an2;
int main(){freopen("terraria.in","r",stdin);freopen("terraria.out","w",stdout);for(scanf("%d",&cas);cas;cas--){scanf("%d",&n);scanf("%lf%lf",&H,&M);fo(i,1,n)scanf("%lf",&a[i]);fo(i,1,n)scanf("%lf",&b[i]);fo(i,1,n)scanf("%lf",&c[i]);ans=an1=an2=0;w1=w2=0;memset(an,0,sizeof(an));fo(i,1,n){lim=min(H/a[i],M/b[i]);y=lim*c[i];if(y>ans){ans=y;w1=i,w2=0;an1=lim,an2=0;}fo(j,i+1,n){x=(M*a[j]-H*b[j])/(b[i]*a[j]-b[j]*a[i]);k=c[i]-a[i]/a[j]*c[j],bb=H*c[j]/a[j];if(x<0)continue;if(x<lim){y=x*k+bb,xx=x;if(y>ans){ans=y;w1=i,w2=j;an1=xx,an2=(H-xx*a[i])/a[j];}}x=(M*a[j]-H*b[j])/(b[i]*a[j]-b[j]*a[i]);if(x>lim)continue;k=c[i]-b[i]/b[j]*c[j],bb=M*c[j]/b[j];y=k*x+bb,xx=x;if(y>ans){ans=y;w1=i,w2=j;an1=xx,an2=(M-xx*b[i])/b[j];}}}an[w1]=an1,an[w2]=an2; printf("%.10lf\n",ans);fo(i,1,n)printf("%.10lf ",an[i]);printf("\n");}
}