NKOI 3124 珍珠吊坠

珍珠吊坠

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Case Time Limit:1000MS

Description

有k种珍珠，每种珍珠有N颗，问能组合出多少种含有k种珍珠且长度<=N的吊坠?(注意：吊坠为链状，非环状)

Input

一行，两个整数N和K

Output

一行，一个整数，表示所求方案总数,结果可能很大，mod 1234567891再输出

Sample Input

样例输入1：
2 1
样例输入2：
3 2

Sample Output

样例输出1：
2
样例输出2：
8

Hint

1 ≤ N ≤ 1,000,000,000
1 ≤ K ≤ 30
样例2说明：
设两种珍珠编号为1和2
1 2
2 1
1 1 2
1 2 1
2 1 1
2 2 1
2 1 2
1 2 2

Source

HDU2294

状态：
           dp[i][j]表示用j种珍珠构成长度恰好为i的吊坠，总的方案数
方程：
           dp[i][j] = (k-(j-1))*dp[i-1][j-1] + j*dp[i-1][j];
结果：
           ans[i]表示长度在i以内且满足条件的吊坠的总方案数
           ans[i]=dp[1][k]+dp[2][k]+...+dp[i][k]
           显然，问题的最终答案为ans[n]

但是考虑到n的范围，我们必须用矩阵乘法优化

根据前面的分析显然有：ans[i]=ans[i-1]+dp[i][k]
参考前面所讲的数列构造方法：
我们构造一个1*(k+1)的矩阵F{ dp[i][1], dp[i][2], dp[i][3], ... ,dp[i][k], ans[i-1] }
我们希望再构造一个(k+1)*(k+1)的矩阵A,使得:F * A={ dp[i+1][1], dp[i+1][2], dp[i+1][3], ... , dp[i+1][k], ans[i] }

矩阵A的求法很好求，这里就不过多解释了

最终答案就是F*A^n；其中矩阵F的初始值：
{dp[1][1], dp[1][2], dp[1][3], ... ,dp[1][k], ans[0]}
={ k , 0 , 0 , ... , 0 , 0 }

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1234567891;
typedef LL arr[35][35];
arr z,A,ans;
LL k,n;
void cheng(arr y,arr x){memset(z,0,sizeof(z));LL i,j,q;for(i=1;i<=k+1;i++)for(j=1;j<=k+1;j++)for(q=1;q<=k+1;q++)z[i][j]=(z[i][j]+y[i][q]*x[q][j])%mod;memcpy(y,z,sizeof(z));
}
void mb(LL b){LL i;for(i=1;i<=k+1;i++)ans[i][i]=1;while(b){if(b&1)cheng(ans,A);b>>=1;cheng(A,A);}
}
int main(){scanf("%I64d%I64d",&n,&k);LL i,j;A[k+1][k+1]=A[k][k+1]=1,A[k][k]=k;for(i=1;i<k;i++)A[i][i]=i,A[i][i+1]=k-i;mb(n);cout<<(k*ans[1][k+1])%mod;
}

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