查找树的LCA(Least Common Ancestor)算法

前言

Euler Tour of A Tree

ETT即Euler-Tour-Tree，也就是采用欧拉序来访问一棵有n个node的树，例如上图所示的这棵树，欧拉序为：9 2 1 7 1 8 1 2 4 2 6 2 9 3 9 5 9；即从根节点开始，dfs(深度优先遍历，前序遍历)依次输出访问边对应的节点，Euler Tour的长度是2n-1，因为每次遍历一条边时输出一个节点，遍历了n-1条边两次，每个方向一次。这样的好处是，可以通过欧拉序列知道所有子树的信息，比如以1为根节点的子树就包括 (1 7 1 8 1)，1、7和8这3个节点；还可以快速得到根节点：（7 1 8）序列中层数最浅的是1，说明1为该子树的根节点。

RMQ(Range Minimum Query)

RMQ范围最小值查找就是给定一个数组，找到该范围内最小元素的索引。LCA问题可以规约为RMQ问题。

LCA

Naive Algorithm

（1）用数组 $E\left [ 1,...,2n-1 \right ]$ 来按顺序存储Euler Tour访问的节点；

（2）用数组 $L\left[1,...,2n-1 \right ]$ 存储 $E\left[i \right ]$ 对应节点的高度（即节点到根节点的距离）；

（3）用数组 $R\left[1,...,n \right ]$ 存储每个节点 $i$ 在Euler Tour中第一次出现的索引，即 $argmin_{j}\left \{ E\left[j \right ] =i\right \}$ ;

（4）两个节点 $u,v$ 第一次出现之间访问的节点为 $E\left[R[u]],...,R[v] \right ]$ 或者 $E\left[R[v]],...,R[u] \right ]$ ，在这个子序列中最浅的节点即高度最小的就是 $u,v$ 的LCA，即 $RMQ_{L}\left(R[u],R[v] \right )$ 。

该方法预处理阶段的时间复杂度为 $O(n^{2})$ ,差不多是暴力解法。

Faster RMQ Algorithm

思想——用一个二维表 $M$ 来提前将RMQ的最小值计算并进行存储。

（1）对于每一个 $i(1\leqslant i\leqslant n)$ 和 $j(1\leqslant j\leqslant logn)$ ，找到区块 $\left[i,i+2^{j} \right]$ 的最小的元素并存储在 $M$ 中，即 $M[i,j]=argmin_{k=i...i+2^{j}-1}\left\{A[k]\right\}$ ，表 $M$ 的大小为 $O(nlogn)$ 。

（2）使用dynamic programming（DP思想）填满 $M$ 只需要 $O(nlogn)$ 的时间复杂度：对于 $2^{j}$ 大小的block，只需计算其两个连续子block的最小值，即 $M[i,j]=min(M[i,j-1],M[i+2^{j}-1,j-1])$ 。

（3）即使用Sparse Table(ST)来计算RMQ，并需要类似找the most significant bit of a word的操作。

（4）查询：我们需要两个已知的固定区间，能够覆盖（可以重合一部分）整个查询区间。为了方便查找，我们规定这两个已知区间覆盖的区间长度均为2^k，并且两个区间分别有一端为L和R。那么随着这个k不断增大，一定存在一个临界点k，刚好覆盖（或最少重合）这个区间。当k满足题意时，两个区间分别为[L,L+2k−1][L,L+2k−1]和[R−(2k−1),R][R−(2k−1),R]，此时只需要满足R−(2k−1)≤L+2k−1R−(2k−1)≤L+2k−1即可，化简之后推出公式：R−L+2≤2k+1，k≥log2(R−L+2)−1。

Fast Algorithm for $\pm 1 RMQ$

思想——基于 $\pm 1$ 限制，使用查表方法提前计算小数组的答案，来消除log。 $\pm 1$ 指任何邻接的两个节点间的高度差为1或-1.

（1）将数组A按每个block大小为 $\frac{logn}{2}$ 进行划分，得到 $A^{'}[1,...2n/logn]$ ;

（2）定义一个等大的数组B， $B[i]$ 表示第 $i$ 个block里最小元素出现的位置；

（3）查询：当查询的起点 $i$ 和 $j$ 不在一个block里时，1）找到从 $i$ 到 $i$ 所在的block里最后一个元素的最小值；2）查找 $i$ 和 $j$ 之间所有block的最小值；3）查找从 $j$ 所在block起始位置到 $j$ 的最小值。

（4）in-block查询优化：对于（3）中的2）的值可以使用ST表实现常数时间复杂度的查询，因此现在主要是优化1)和3)的in-block查询。使用Normalized Block，即依次处理每个block中元素将其将去最初的每个元素，那么对于长度为 $\frac{logn}{2}$ 的block，共由 $2^{1/2\cdot logn-1}=O(\sqrt{n})$ 种不同的Normalized Blocks。其余相同的Normalzed Block可以使用相同的预处理，这大大提高了预处理时间。

（5）创建 $O(\sqrt{n})$ 个table，每个table对应一种Normalized Block。每个Block中保存 $(\frac{logn}{2})^{2}=O(log^{2}n)$ 种查询结果。

[References]：

M. A. Bender and M. Farach-Colton. The lca problem revisited. In Proc. of LASTI’00, pages 88–94, 2000.

https://blog.csdn.net/Kanosword/article/details/52659924

https://github.com/leifwalsh/rmq