一、最小生成树

1.1 定义

1.2 性质

二、Prim算法

2.1 基本思想

2.2 算法思想

2.3 算法实现

三、Kruskal算法

3.1 基本思想

3.2 算法思想

3.3 算法实现

一、最小生成树

1.1 定义

1.2 性质

示意图：

二、Prim算法

2.1 基本思想

可以看出，Prim算法逐步向顶点集U中增加顶点，故又称为“加点法”。

注意：选择最小边时，条件是边的一个顶点属于U，而另一个顶点属于V-U，即保证加点后不构成回路。在有多条同样权值的边可选时，可任选其一。

2.2 算法思想

说明：

下面给出一个实例。

CloseEdge[i].lowcost = 0 代表顶点 i 已被并入顶点集U中。

2.3 算法实现

定义数组CloseEdge[ ]，用于记录从U到V-U的最小边。

typedef struct {int adjvex;int lowcost;
} CloseEdge[MAX_VERTEX_NUM];

Minium函数用于找出CloseEdge[ ]中最小的最小边。

int Minium(CloseEdge ce, int n) {int i, j = -1;int c = -1;for (i = 0; i < n; ++i) /* n是图G的顶点个数 */if (ce[i].lowcost != 0 && (c == -1 || c > ce[i].lowcost)) {c = ce[i].lowcost;/* j用于记录当前最小的最小边的顶点下标 */j = i; }return j;
}

Prim算法。

void MiniSpanTree_Prim(Graph *G, VertexData k) {int i, e;int u, v;CloseEdge ce;/* 确定起始顶点的下标 */u = LocateVertex(G, k);/* 初始化数组ce */ce[u].lowcost = 0;for (i = 0; i < G->vexnum; ++i)if (i != u) {ce[i].adjvex = u;ce[i].lowcost = G->arcs[u][i].adj;}/* 选出最小生成树的G->vexnum - 1条边 */for (e = 1; e <= G->vexnum - 1; ++e) {v = Minium(ce, G->vexnum);u = ce[v].adjvex;/* 打印得到的最小边 */printf("(%s, %s, %d)\n",Vertex2Name(G->vertex[u].data),Vertex2Name(G->vertex[v].data),ce[v].lowcost);/* 将顶点v纳入集合U */ce[v].lowcost = 0;for (i = 0; i < G->vexnum; ++i) /* 更新数组ce */if (G->arcs[v][i].adj < ce[i].lowcost) {ce[i].adjvex = v;ce[i].lowcost = G->arcs[v][i].adj;}}
}

三、Kruskal算法

3.1 基本思想

可以看出，Kruskal算法逐步增加生成树的边（注意加边后不能构成回路），与Prim算法相比，可称为“加边法”。

3.2 算法思想

下面给出一个实例。

初始化。

选出第一条边。

选出第二条边。

选出第三条边。

以此类推，直到所有的顶点都在一个顶点集合内。

3.3 算法实现

定义边的类型；数组VertexSet用于记录顶点存储状态。

typedef struct {int u, v;int lowcost;
} Edge;int VertexSet[MAX_VERTEX_NUM];

Minium函数用于找出图G中权值最小的边。

bool Minium(Graph *G, Edge *e) {int i, j;/* 清除使用痕迹 *//* 因为e是指针，所以其中的数据会被带出函数 */e->u = e->v = -1;e->lowcost = INFINITY;for (i = 0; i < G->vexnum; ++i)for (j = 0; j < G->vexnum; ++j)/* 要求顶点i和顶点j不能在同一个顶点集合内，否则会形成回路 */if (VertexSet[i] != VertexSet[j] && e->lowcost > G->arcs[i][j].adjvex) {e->lowcost = G->arcs[i][j].adjvex;e->u = i;e->v = j;}return e->u != -1;
}

Kruskal算法。

void MiniSpanTree_Kruskal(Graph *gn) {Edge e;int i, setid;int u, v;/* 初始化数组VertexSet */for (i = 0; i < gn->vexnum; ++i)VertexSet[i] = i;/* 最大的集合编号 */setid = i;while (Minium(gn, &e)) {/* 打印得到的最小边 */printf("(%s, %s, %d)\n",Vertex2Name(gn->vertex[e.u].data),Vertex2Name(gn->vertex[e.v].data),e.lowcost);u = VertexSet[e.u];v = VertexSet[e.v];/* 更新顶点集合状态 */for (i = 0; i < gn->vexnum; ++i)if (u == VertexSet[i] || v == VertexSet[i])VertexSet[i] = setid;++setid;}
}

说明：

1、每合并得到一个新的顶点集合，其编号都设为当前setid的值。

2、if (u == VertexSet[i] || v == VertexSet[i]) 不仅更新顶点 u 和 v 的集合编号，同时也会更新与顶点 u 或 v 同属一个集合的顶点的集合编号。

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