根据圆的面积公式计算圆周率

圆周率是一个很神奇的数字，看似毫无规律，但却是确确实实存在并且唯一的，圆周率的计算有很多种方法，现在我们假设已知圆的面积公式 s=πr2 s=\pi r^2 ,看能不能据此来反推得到 π \pi 。

已知条件
- 圆的面积公式： s=πr2 s=\pi r^2 ；
- 正六边形是由6个完全相同的等边三角形组成；

所用工具
- 数学推导
- C语言编程

*注意：不能使用三角函数公式计算

推导过程
如图

设圆的半径r=1，圆内接 6∗2n 6*2^n 边形的边长为 an a_n 。由图可知：

AC2=AB2+BC2=AB2+(r−OB)2=AB2+(1−1−AB2−−−−−−−√)2 AC^2=AB^2+BC^2=AB^2+(r-OB)^2=AB^2+(1-\sqrt{1-AB^2})^2 ,

因此：

an+12=(an/2)2+(1−1−(an/2)2−−−−−−−−−√)2=2−4−an2−−−−−−√−−−−−−−−−−−√ {a_{n+1}}^2=(a_n/2)^2+(1-\sqrt{1-(a_n/2)^2})^2=\sqrt{2-\sqrt{4-{a_n}^2}} ,

至此，我们可以由圆内接正 6∗2n 6*2^n 边形的边长计算得到内接正 6∗2n+1 6*2^{n+1} 边形的边长。圆的面积可近似看作其内接正多边形的面积，边数越多，近似的结果越准确。

s=πr2≈sn+1=6∗2n+1∗（1/2∗1∗an/2)=3an∗2n s=\pi r^2 \approx s_{n+1}=6*2^{n+1}*（1/2*1*a_n/2)=3a_n*2^n

因此：

π=s/r2=s=3an∗2n \pi=s/r^2=s=3a_n*2^n ，

由于 a1=1 a_1=1 是已知的，便可以联立以上带有项目符号的公式，通过迭代得到 π \pi 的估计值。

C代码实现

#include<stdio.h>
#include<math.h>
main()
{int n=1;double a=1.0,s1=0.0,s2,ds;do{a=sqrt(2-sqrt(4-a*a));s2=3*a*pow(2,n);ds=s2-s1;s1=s2;n+=1;} while(ds>0.00001);//精确至小数点后第5位printf("pi=%f",s1);
}

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