1. 一阶RC电路

1.1 电路图

其中，RRR为滤波电阻，CCC为滤波电容，UiU_{i}Ui为输入电压，U0U_{0}U0为输出电压。

1.2 时域表达式

U0=Ui−RCdU0dtU_{0} = U_{i} - RC\frac{dU_{0}}{dt} U0=Ui−RCdtdU0

1.3 传递函数

同时求拉氏变换，在零初始条件下可得：
U0(s)=Ui(s)−RCsU0U_{0}(s)=U_{i}(s)-RCsU_{0} U0(s)=Ui(s)−RCsU0
则传递函数：
G(s)=U0(s)Ui(s)=11+RCsG(s) = \frac{U_{0}(s)}{U_{i}(s)}=\frac{1}{1+RCs} G(s)=Ui(s)U0(s)=1+RCs1

1.4 ZZZ变化 & 差分方程

已知传递函数，可利用双线性变换、一阶前向差分和一阶后向差分等方式求取ZZZ函数。
(1) 一阶后向差分
s=1−z−1Ts=\frac{1-z^{-1}}{T} s=T1−z−1
其中，TTT为离散周期，也就是采样周期。
写成ZZZ函数为：
Y(Z)=TT+RCX(Z)+RCT+RCY(Z)Z−1Y(Z) = \frac{T}{T+RC}X(Z)+\frac{RC}{T+RC}Y(Z)Z^{-1} Y(Z)=T+RCTX(Z)+T+RCRCY(Z)Z−1
写成差分方程为：
y(n)=TT+RCx(n)+RCT+RCy(n−1)y(n) = \frac{T}{T+RC}x(n)+\frac{RC}{T+RC}y(n-1) y(n)=T+RCTx(n)+T+RCRCy(n−1)
(2) 双线性变换
s=2T1−Z−11+Z−1s = \frac{2}{T} \frac{1-Z^{-1}}{1+Z^{-1}} s=T21+Z−11−Z−1
写成ZZZ函数为：
Y(Z)=TT+2RCX(Z)+TT+2RCZ−1X(Z)+2RC−TT+2RCZ−1Y(Z)Y(Z) = \frac{T}{T+2RC}X(Z) + \frac{T}{T+2RC}Z^{-1}X(Z)+\frac{2RC-T}{T+2RC}Z^{-1}Y(Z) Y(Z)=T+2RCTX(Z)+T+2RCTZ−1X(Z)+T+2RC2RC−TZ−1Y(Z)

1.5 一阶RC数字滤波器的基本算法

按照一阶差分方程的形式：
y(n)=a∗x(n)+(1−a)∗y(n−1)y(n) = a * x(n) + (1 - a)*y(n-1) y(n)=a∗x(n)+(1−a)∗y(n−1)
其中，aaa是一个和采样周期及RC有关的参数：
a=TT+RCa = \frac{T}{T+RC} a=T+RCT
a为小于1的数，在实际可以通过右移的方式实现。
1a=T+RCT=1+RCT\frac{1}{a} = \frac{T+RC}{T} =1+ \frac{RC}{T} a1=TT+RC=1+TRC
此时，根据RC电路截止频率公式计算可得：
fL=12πRC=a2πT(1−a)f_{L} =\frac{1}{2 \pi RC}= \frac{a}{2\pi T(1-a)} fL=2πRC1=2πT(1−a)a
根据RC电路延迟时间公式计算可得：
tτ=RC=(1a−1)Tt_{\tau}=RC=(\frac{1}{a}-1)T tτ=RC=(a1−1)T

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