模糊数学学习笔记 1：模糊集

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文章目录

1. 传统集合的定义
2. 模糊集合的定义
3. 模糊集的表示方法
- 3.1 Zadeh 表示法
- 3.2 序偶表示法
- 3.3 向量表示法
4. 模糊集的运算
- 4.1 集合基本运算
- 4.2 计算性质
5. 隶属度的确定
- 5.1 实验统计法
- 5.2 (半)解析法
- 5.3 专家打分法
6. 截集与分解定理
- 6.1 截集的定义
- 6.2 截集运算性质
- 6.3 一些定义
- 6.4 分解定理

1. 传统集合的定义

论域 U，集合 A，这可以用一个映射来表示
χ A : U → { 0 , 1 } u ↦ χ A ( u ) \begin{aligned} \chi_{A}: \boldsymbol{U} \rightarrow &\{\mathbf{0}, \mathbf{1}\} \\ \boldsymbol{u} \mapsto & \chi_{A}(\boldsymbol{u}) \end{aligned} χA:U→u↦{0,1}χA(u)
也可以用一个分段函数来表示
χ A ( u ) = { 1 , u ∈ A 0 , u ∉ A \chi_{A}(u)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {u \in A} \\ {0,} & {u \notin A} \end{array}\right. χA(u)={1,0,u∈Au∈/A

2. 模糊集合的定义

模糊集的含义表示其中的元素 x x x “有一定的可能性”属于集合 A A A，或者说“一定程度上”属于集合 A A A，那么这个属于的程度就被称为隶属度 μ A ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] \mu_A(x)\in [0,1] μA(x)∈[0,1]。与传统集合相比，传统集合中元素的隶属程度非 0 即 1，也即要么属于，要么不属于，是确定的，模糊集里则引入了一定的不确定性。也用一个映射表示为
μ A : U → [ 0 , 1 ] x ↦ μ A ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] \begin{aligned} \mu_{A}: &\boldsymbol{U} \rightarrow[0,1] \\ &\boldsymbol{x} \mapsto \mu_{A}(x) \in[0,1] \end{aligned} μA:U→[0,1]x↦μA(x)∈[0,1]
其中映射 μ A \mu_A μA 称为 A A A 的隶属函数， μ A ( x ) \mu_A(x) μA(x) 为 x x x 对 A A A 的隶属度。注意 μ A ( x ) = 0.5 \mu_A(x)=0.5 μA(x)=0.5 时表示最具有模糊性。

3. 模糊集的表示方法

3.1 Zadeh 表示法

A = A ( x 1 ) x 1 + A ( x 2 ) x 2 + ⋯ + A ( x n ) x n A=\frac{A\left(x_{1}\right)}{x_{1}}+\frac{A\left(x_{2}\right)}{x_{2}}+\cdots+\frac{A\left(x_{n}\right)}{x_{n}} A=x1A(x1)+x2A(x2)+⋯+xnA(xn)

这里 A ( x i ) x i \frac{A\left(x_{i}\right)}{x_{i}} xiA(xi) 表示 x i x_i xi 对模糊集 A A A 的隶属度为 A ( x i ) A(x_i) A(xi)。若论域 U U U 为无限集，则模糊集表示为
A = ∫ x ∈ U A ( x ) x A=\int_{x\in U} \frac{A(x)}{x} A=∫x∈UxA(x)

3.2 序偶表示法

A = { ( x 1 , A ( x 1 ) ) , ( x 2 , A ( x 2 ) ) , ⋯ , ( x n , A ( x n ) ) } A=\left\{\left(x_{1}, A\left(x_{1}\right)\right),\left(x_{2}, A\left(x_{2}\right)\right), \cdots,\left(x_{n}, A\left(x_{n}\right)\right)\right\} A={(x1,A(x1)),(x2,A(x2)),⋯,(xn,A(xn))}

3.3 向量表示法

A = ( A ( x 1 ) , . . . , A ( x n ) ) A=(A(x_1),...,A(x_n)) A=(A(x1),...,A(xn))

4. 模糊集的运算

4.1 集合基本运算

相等： A = B ⟺ A ( x ) = B ( x ) , ∀ x ∈ U A=B \iff A(x)=B(x), \forall x\in U A=B⟺A(x)=B(x),∀x∈U
包含： A ⊂ B ⟺ A ( x ) ≤ B ( x ) , ∀ x ∈ U A\subset B \iff A(x)\le B(x), \forall x\in U A⊂B⟺A(x)≤B(x),∀x∈U
交集： ( A ∩ B ) ( x ) = A ( x ) ∧ B ( x ) , ∀ x ∈ U (A\cap B)(x) = A(x)\wedge B(x),\forall x\in U (A∩B)(x)=A(x)∧B(x),∀x∈U
并集： ( A ∪ B ) ( x ) = A ( x ) ∨ B ( x ) , ∀ x ∈ U (A\cup B)(x) = A(x)\vee B(x),\forall x\in U (A∪B)(x)=A(x)∨B(x),∀x∈U
补集： A c ( x ) = 1 − A ( x ) , ∀ x ∈ U A^c(x)=1-A(x),\forall x\in U Ac(x)=1−A(x),∀x∈U

其中记号 a ∧ b = min ⁡ { a , b } , a ∨ b = max ⁡ { a , b } a\wedge b=\min\{a,b\},a\vee b=\max\{a,b\} a∧b=min{a,b},a∨b=max{a,b}

4.2 计算性质

很多计算性质都和普通集合差不多

需要注意的是无穷个集合的交集与并集的定义
⋃ t ∈ T A t ( a ) = sup ⁡ t ∈ T A t ( a ) ⋂ t ∈ T A t ( a ) = inf ⁡ t ∈ T A t ( a ) \bigcup_{t \in T} A_{t}(a)=\sup_{t \in T} A_{t}(a) \\ \bigcap_{t \in T} A_{t}(a)=\inf_{t \in T} A_{t}(a) t∈T⋃At(a)=t∈TsupAt(a)t∈T⋂At(a)=t∈TinfAt(a)

5. 隶属度的确定

5.1 实验统计法

5.2 (半)解析法

根据问题性质套用现有模糊分布，然后根据测量数据确定分布中的参数。

模糊分布大致分为：偏大型、偏小型、中间型

5.3 专家打分法

根据专家的反馈意见进行统计

6. 截集与分解定理

6.1 截集的定义

定义：若 A A A 为 U U U 上的任一模糊集，对 ∀ λ ∈ [ 0 , 1 ] \forall \lambda\in [0,1] ∀λ∈[0,1]，记
A λ = { x ∣ A ( x ) ≥ λ , x ∈ U } A_\lambda = \{x|A(x)\ge\lambda,x\in U\} Aλ={x∣A(x)≥λ,x∈U}
称为 A A A 的** λ \lambda λ-截集**，其中 λ \lambda λ 称为阈值或置信水平。类似的，**强截集(开截集)**定义为
A λ = { x ∣ A ( x ) > λ , x ∈ U } A_\lambda = \{x|A(x)>\lambda,x\in U\} Aλ={x∣A(x)>λ,x∈U}
注意：截集为普通集合，不是模糊集！

6.2 截集运算性质

大部分性质都很简单

但注意其中第 3 和第 6 条注意并不是相等！！

6.3 一些定义

核： k e r ( A ) = A 1 ker(A)=A_1 ker(A)=A1
支集： s u p p ( A ) = A 0 ˉ supp(A)=A_{\bar{0}} supp(A)=A0ˉ
边界： A 0 ˉ \ A 1 A_{\bar{0}}\backslash A_1 A0ˉ\A1
数乘： λ A ( u ) = λ ∧ A ( u ) , u ∈ U \lambda A(u) = \lambda \wedge A(u),u\in U λA(u)=λ∧A(u),u∈U
- A ⊂ B ⇒ λ A ⊂ λ B A\subset B \Rightarrow \lambda A \subset \lambda B A⊂B⇒λA⊂λB
- λ 1 ≤ λ 2 ⇒ λ 1 A ⊂ λ 2 A \lambda_1\le\lambda_2\Rightarrow \lambda_1 A \subset \lambda_2 A λ1≤λ2⇒λ1A⊂λ2A

6.4 分解定理

分解定理 1： A ∈ F ( U ) A\in \mathcal{F}(U) A∈F(U)，则 A = ⋃ λ ∈ [ 0 , 1 ] λ A λ A=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda A=⋃λ∈[0,1]λAλ

分解定理 2： A ∈ F ( U ) A\in \mathcal{F}(U) A∈F(U)，则