整数规划 - 数学建模

一、整数规划模型及概念

规划问题的数学模型一般由三个因素构成 决策变量目标函数约束条件；
数学规划是运筹学的一个重要分支，线性规划是数学规划的一个重要分支；
线性规划即以线性函数为目标函数，线性条件为约束条件；
如果一个线性规划模型中的部分或全部决策变量取整数值，则称该线性规划模型为整数线性规划模型，除此还有非线性整数规划。

从决策变量的取值范围来看，整数规划通常可以分为以下几种类型:
1、纯整数规划：全部决策变量都必须取整数值的整数规划模型;
2、混合整数规划：决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数规划模型;
3、0-1整数规划：决策变量只能取0或1的整数规划。

二、整数规划模型求解及应用

整数线性规划模型的一般形式为

1、基于求解器求解

标准形式如下

解法：

[x, fval, exitflag, output] = intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)

其中
输入参数：
f 为系数向量，系数向量表示目标函数，列向量；
intcon 为整数约束组成的向量，它的值指示决策变量 x 中应取整数值的分量；
A 为线性不等式约束矩阵，A 表示约束中的线性系数；
b 为线性不等式约束向量，b 表示约束中的常向量；
Aeq 为线性等式约束矩阵，beq 为线性等式约束向量；
lb 为下界，ub 为上界；
x0为初始点，指定为实数数组。当 f 存在时，x0 中的元素数与 f 中的元素数相同。否则，该数字与 A 或 Aeq 的列数相同；
options 为 intlinprog 的选项。
输出参数：
x 为解，fval 为目标函数最优值；
exitflag 为算法停止条件，output 为求解过程摘要。

2、基于问题求解

首先需要用变量和表达式构造优化问题，然后用solve函数求解，详见例题。

三、例题

1、基于求解器求解

clc, clear
f = [1; 1; 1; 1; 1; 1]; % 目标函数系数矩阵
intcon = [1:6];    % 目标函数整数项
A = [1, 0, 0, 0, 0, 1; % 构造不等式约束系数矩阵1, 1, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 1, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 1, 0; 0, 0, 0, 0, 1, 1];
b = [35; 40; 50; 45; 55; 30]; % 构造不等式约束常数矩阵
[x, fval] = intlinprog(f, intcon, -A, -b, [], [], zeros(6, 1)); % 调用求解器求解

2、基于问题求解

clc, clear
prob = optimproblem; % 定义优化问题，默认求最小
x = optimvar('x',6,'Type','integer','LowerBound',0);  % name为变量名称，n为变量维度，cstr为索引名称，Type为变量类型，continuous（默认实数）或integer（整数），LowerBound为下界，UpperBound为上界
prob.Objective = sum(x); % .Objective为目标函数，定义目标函数
con = optimconstr(6); % 创建一个由空优化约束组成的 6×1 数组，使用 constr 初始化用于创建约束表达式的循环
a = [35,40,50,45,55,30]; % 不等式常数项
con(1) = x(1)+x(6)>=35;   % 构造不等式约束
for i =1 :5con(i+1) = x(i)+x(i+1)>=a(i+1);
end
prob.Constraints.con = con;
[sol, fval, flag] = solve(prob), sol.x % 求解

求得最优解为x1 = 35, x2 = 5, x3 = 45, x4 = 0, x5 = 55, x6 = 0，目标函数最优值为140。

四、蒙特卡洛法解决非线性整数规划

蒙特卡洛法又称计算机随机模拟法，是基于对大量事件的统计结果来实现一些确定性问题的计算。
非线性规划的解法虽然尚未成熟，但是非线性整数规划限定了变量为整数，从而整数解为有限个，为枚举法提供了方便，故在一定计算量的情况下，用蒙特卡洛法进行随机枚举可以得出一个较为满意的解。一些情况还可以使用Lingo得到更优的答案，在此就不再赘述了。