线性规划

在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济
效益的问题。若目标函数及约束条件均为线性函数，则称为线性规划(Linear Programming 简记 LP)。
可行解：满足约束条件的解。
可行预：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

图解法：

图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。可得到如下结论：
（1）可行域 R 可能会出现多种情况。 R 可能是空集也可能是非空集合，当 R 非空
时，它必定是若干个半平面的交集。 R 既可能是有界区域，也可能是无界区域。
（2）在 R 非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其
目标函数值无界）。
（3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域 R 的“顶点”。

整数规划

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。
如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类：

变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

整数规划特点

原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：
①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。

求解方法分类

分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
①过滤隐枚举法；
②分枝隐枚举法。
匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
蒙特卡洛法—求解各种类型规划。

(1)分枝定界法

对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。
设有最大化的整数规划问题 A ，与它相应的线性规划为问题 B ，从解问题 B 开始，若其最优解不符合 A 的整数条件，那么 B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数z* 的上界，记作 z- ；而 A 的任意可行解的目标函数值将是z* 的一个下界 z_ 。分枝定界法就是将 B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小 z- 和增大 z_ ，最终求到z* 。

(2) 割平面法

(3) 隐枚举法(“0-1”整数规划)

（i）先试探性求一个可行解，易看出(1,0,0)满足约束条件，故为一个可行解，且 z= 3 。
（ii）因为是求极大值问题，故求最优解时，凡是目标值 z<3 的解不必检验是否满足约束条件即可删除，因它肯定不是最优解，于是应增加一个约束条件（目标值下界）：
（iii）改进过滤条件。
（iv）由于对每个组合首先计算目标值以验证过滤条件，故应优先计算目标值 z 大的组合，这样可提前抬高过滤门槛，以减少计算量。

(4) 匈牙利法

匈牙利算法python代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import linear_sum_assignmentcost = np.array([[3,5,8,4], [6,8,5,4], [2,5,8,5],[9,2,5,2]])
row_ind, col_ind = linear_sum_assignment(cost)
print(row_ind)  # 开销矩阵对应的行索引
print(col_ind)  # 对应行索引的最优指派的列索引
print(cost[row_ind, col_ind])  # 提取每个行索引的最优指派列索引所在的元素，形成数组
print(cost[row_ind, col_ind].sum())  # 数组求和'''输出：[0 1 2 3][3 2 0 1][4 5 2 2]13'''

(5) 蒙特卡洛法（随机取样法）

是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全可以得出一个满意解。

指派问题的计算机求解
整数规划问题的求解可以使用 Lingo 等专用软件。对于一般的整数规划问题，无法
直接利用 Matlab 的函数，必须利用 Matlab 编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对
于指派问题等 1 0− 整数规划问题，可以直接利用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解。

非线性规划

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问
题。
线性规划与非线性规划的区别：
如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行
域的顶点上达到)；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。

FUN是用M文件定义的函数f(x)
x0是x的初始值
A,B,Aeq,Beq定义了线性约束，若没有则为空
LB和UB是变量x的下界和上界
NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x)
OPTIONS定义了优化参数，可以使用Matlab 缺省的参数设置。

二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量 x 的二次函数，约束条件又全是线性的，就称
这种规划为二次规划。

返回值 X 是决策向量 x 的值，返回值 FVAL 是目标函数在 x 处的值。

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