回溯算法：从电影<蝴蝶效应>中学习回溯算法的核心思想

数独、八皇后、0-1背包、图的着色、旅行商问题、全排列问题都能用到

理解“回溯算法”

回溯的思想，类似枚举搜索，枚举所有的解，找到满足期望的解，为了有规律枚举所有可能的解，把问题求解的过程分为多个阶段，每个阶段，都会面对一个岔路口，先随意选一条路，当发现这条路不通的时候（不满足期望）就回退到上一个岔路口，另选一种。

八皇后问题：

有一个8x8棋盘，往里面放8个棋子（皇后），每个棋子所在行、列、对角线都不能有另外一个棋子

把这个问题划分为8个阶段，依次将8个棋子放到第一行、第二行、……、第八行，在放置的过程中，不停的检查是否满足规则，如果满足就跳到下一行继续放置棋子，不满足就换一种放法尝试

int[] result = new int[8];//全局或成员变量，下标表示行，值表示queen存储在哪一列
public void cal8queens(int row){   //调用方式：cal8queen(0);if(row == 8){   //8个棋子都放置好了打印结果printQueens(result);return;    //8个棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return}for(int column = 0 ; column < 8 ; ++column){  //每一行都有8种放法if(isOk(row,column)){  //有些放法不满足要求result[row] = column;   //第row行的棋子放到了column列cal8queens(row+1);   //考察下一行}}
}private boolean isOk(int row , int column){  //判断row行column列放置是否合适int leftup = column - 1 , rightup = column + 1;for(int i = row - 1; i >= 0 ; --i){  //逐行往上考察每一行if(result[i] == column) return false;  //第i行的column列有棋子吗？if(leftup >= 0){   //考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？if(result[i] == leftup) return false;}if(rightup < 8 ){  //考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？if(result[i] == rightup)  return false;}--leftup ; ++rightup;}return true;
}private void printQueens(int[] result){   //打印出一个二维矩阵for(int row = 0 ; row < 8 ; ++row){for(int column = 0 ;; column < 8 ; ++column){if(result[row] == column) System.out.print("Q ");else System.out.print("* ");}System.out.println():}System.out.println();
}

两个回溯算法的经典应用

1. 0-1背包

有一个背包，背包总的承载重量是Wkg,我们有n个物品，每个物品的重量不等，且不可分割，期望选择几件物品装载到背包中，在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包物品的总重量最大？

对于n个物品来说，总的装法有2^n种，去掉总重量最接近Wkg,从剩下的装法中选择总重量最接近Wkg的，如何才能不重复穷举这2^n种装法呢？

把物品依次排列，整个问题就分解成了n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择，先对第一个物品进行处理，选择装进去还是不装，再递归处理剩下的物品

如果发现已经选择的物品重量超过了Wkg,停止继续探测剩下的物品

public int maxW = Integer.MIN_VALUE;//存储背包中物品总重量的最大值
//cw表示当前已经装进去的物品的重量和； i表示考察到哪个物品了；
//w背包重量 ； items表示每个物品的重量；n表示物品个数
//假设背包可承受重量100,物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
//f(0，0，a，10，100)
public void f(int i , int cw, int[] items , int n , int w){if(cw == w || i == n ){   // cw == w表示装满了；i== n表示已经考察完所有的物品if(cw  >  maxW) maxW = cw;return;}f(i+1 , cw , items , n ,w);if(cw + items[i] <= w){   //已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了f(i+1 , cw + items[i] , items ,n , w);}
}

2. 正则表达式

正则表达式中，最重要的是通配符，假设正则表达式中只包含 * 和?两个通配符，其中，* 匹配任意多个（大于等于0个）任意字符，?匹配零个或者一个任意字符，如何通过回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？

依次考察正则表达式中的每个字符，当时非通配符时，直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，继续往下处理，如果不同，则回溯

如果遇到特殊字符的时候，比如*有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，先随意选择一种匹配方案，继续考察剩下的字符

public class Pattern{private boolean matched = false;private char[] pattern;  //正则表达式private int plen;  //正则表达式长度public Pattern(char[] pattern , int  plen){this.pattern = pattern;this.plen = plen;}public boolean match(char[] text , int tlen){  //文本串及长度matched = false;rmatch(0,0,text,tlen);return matched;}private void rmatch(int ti,int pj, char[] text, int tlen){if(matched) return;//如何已经匹配了，就不需要继续递归了if(pj == plen){  //正则表达式到结尾了if(ti ==tlen) matched = true;//  文本串也到结尾了return;}if(pattern[pj] == "*"){   //*匹配任意个字符for(int k = 0 ; k <=  tlen-ti;++k){rmatch(ti+k,pj+1,text,tlen);}}else if (pattern[pj] == "?"){    //?匹配0个或者1个字符rmatch(ti,pj+1,text,tlen);rmatch(ti+1,pj+1,text,tlen);}else if(ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]){   //纯字符匹配才行rmatch(ti+1,pj+1,text,tlen);}}
}