整个项目，从Bezier曲线的创建，到Coons Patch曲面的实现，再到网格的实现和优化，还有最后对表面的光顺，链接如下：
【CAD算法】【计算机图形学】Bezier贝塞尔曲线生成程序(python/numpy实现)[1]
【CAD算法】【计算机图形学】Coons Patch曲面生成程序(python/numpy实现)[2]
【CAD核心算法】基于Laplacian Smoothing的网格mesh优化算法(python实现)[3]
【CAD算法】【遗传算法】采用遗传算法优化Coons Patch曲面程序(python实现)[4]
【CAD算法】基于最速下降法(梯度下降)的最短路径实现(python实现)[5]

1.内容回顾

首先回顾一下，表示一个曲线，有两种方式，implicit表示法和参数表示法。
implicit表示法：通过XYZ坐标表示曲线。
优点：

Compact
Easy to check if a point belongs to the curve

缺点：

Difficult for curve evaluation
Difficult for partial curve definition

参数表示法：Represent the X, Y, Z coordinates as a function of a single parameter
优点：

Easy for curve evaluation.
Convenient for partial curve definition.
Many others such as easy for manipulation, intersection.

很明显，参数表示法在工程领域中被广泛运用。

参数表示法有6种，分别是：

Conic sections
Polynomial Curves
Hermite Curves
Bezier Curves
B-Splines
Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS)

Conic sections：适用于描述圆锥曲线(圆/椭圆/双曲线/抛物线)。
Polynomial Curves：P(u) = [x(u) y(u) z(u)]T = a0 + a1u + a2u2 + a3u3 (0<=u<=1),这种表示法不能直观地通过改变a0到a3的值预测到曲线形状，一般不被运用。

Hermite Curves：P(u) = f0(u)P0 + f1(u)P1 + f2(u)P0’+ f3(u)P1’ (0<=u<=1)，通过确定一条曲线两端点的坐标和斜率来确定一条曲线的坐标。同样不能直观地通过两端点的信息确定曲线的形状。
B spine：也就是B样条曲线，这种表示法得到最广泛的运用，它克服了Bezier曲线某一个控制点坐标变换会整体上地影响曲线形状这个缺点。
Bezier Curves：通过n+1个控制点的坐标，得到曲线的坐标。它的定义如下：

一定要注意，参数u的取值范围只能在0-1之间，包括端点。根据公式可知，只要知道了bezier曲线的维度n，也就是控制点数减一，就能计算出每一项的blending function的值，分别和控制点坐标相乘再求和，就能得到Bezier曲线的表达式。一旦确定了一个u的值，自然能得到对应曲线的坐标。如果想通过pyplot画出来，可以通过采样的方式，用很多个点来描述这个曲线。

2.题目描述

现在开始我们的程序。问题如下，用户通过txt或者控制台输入一组坐标，该程序能自动计算出Bezier曲线并通过画图软件画出来。
其中，输入信息格式如下：

Line 1           m          /*  Bezier 曲线的数量 */
Line 2           n1          /* 第一条Bezier曲线有多少个控制点 */
Line 3           0 or 1      /*0意味着该曲线首尾闭合, 1代表着首尾不相连 */
Line 4           第一个控制点坐标  /* 坐标之间通过“,”或空格分开 */
Line 5           第二个控制点坐标
.
.
.
Line n1+3        第n个控制点坐标

可能这么描述还不是很清楚，举一个例子：

2                           #一共需要绘制2条Bezier曲线
4                           #第一条曲线有4个控制点
1                           #第一条曲线首尾不相连
1.5     0.4 -3              #控制点的三维坐标
1.7     -2.56       4.78    #控制点的三维坐标
0           245.6   10      #控制点的三维坐标
0       0   0               #控制点的三维坐标
3                           #第二条曲线有4个控制点
0                           #第二条曲线首尾相连
3       5   -6              #控制点的三维坐标
-4      3.5 7               #控制点的三维坐标
1.5     -5  -10.5           #控制点的三维坐标

3.解决方案

3.1头文件引用和变量定义

import os
import numpy as np
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import pandas as pdnp.set_printoptions(suppress = True)
#database = []
m = np.array([],dtype = np.uint8) # the number of bazier curves
pointsNumber = np.array([],dtype = np.uint8) #for the ith curve, the points number of it
closedOrOpen = np.array([],dtype = np.uint8) #for the ith curve, 0 means it is open, 1 means it is closed
point = np.array([],dtype = np.float64) #the control points for all the curves

解释一下，以上四个变量均采用array数据类型，方便在内存中存放很多数据点并可视化。
其中，m是Bezier曲线数量；pointsNumber依次存放着每一条Bezier曲线的控制点数；closedOrOpen依次存放着每一条Bezier曲线是闭合的还是开放的bool数据；point依次存放着每一条Bezier曲线的全部特征点数，配合pointsNumber[i]指针可以很快定位到每一条Bezier曲线的第一个控制点在point数组中的位置。

3.2实现从txt文件的读取

def inputFromText():global filepathfilepath = os.path.abspath('.') + "/" + raw_input("please input the file name(eg:data.txt):")with open (filepath) as data:line_zero = data.readline()line_zero_list = list(line_zero.split())global mm = np.array(line_zero_list, dtype=np.uint8)for i in range(m[0]): pointsNumber_str = data.readline()pointsNumber_list = list(pointsNumber_str.split())temp1 = np.array(pointsNumber_list,dtype=np.uint8)global pointsNumberpointsNumber = np.append(pointsNumber,temp1) # the number of control points of the ith Bezier curveclosedOrOpen_str = data.readline()closedOrOpen_list = list(closedOrOpen_str.split())temp2 = np.array(closedOrOpen_list,dtype=np.uint8)global closedOrOpenclosedOrOpen = np.append(closedOrOpen,temp2) #0 means the ith curve is closed, 1 means it is openglobal pointfor j in range(temp1[0]):#u += 1point_str = data.readline()point_list = list(point_str.split())temp3 = np.array(point_list,dtype=np.float64)point = np.append(point,temp3) # control points for the ith Bezier Curvepoint = np.reshape(point, (-1,3))

读取txt采用python内置的文件操作函数。为了便于理解，采用循环方式依次读取txt的每一行，代码中没有介绍过的变量都是中间变量。

3.3 实现从控制台读取数据并保存数据到txt

def inputFromKeyboard(): m_int = input("the number of Beziercurve:") #the number of Beziercurveglobal mm = np.array([m_int],dtype = np.uint8)filename = raw_input("please input filename:(example: data.txt):")  #input can only read 1 word!with open(filename,mode="w") as file_txt:file_txt.write(str(m_int)+'\n') #change to string!!for i in range(m_int): pointsNumber_str = str(input("numbers of control points of the {}th Bezier curve:".format(i)))pointsNumber_list = list(pointsNumber_str.split())temp1 = np.array(pointsNumber_list,dtype=np.uint8)global pointsNumberpointsNumber = np.append(pointsNumber,temp1) # the number of control points of the ith Bezier curve#u += 1file_txt.write(pointsNumber_str + '\n')closedOrOpen_str = str(input("0 or 1: 0 means the ith curve is closed, 1 means it is open:")) #0 means the ith curve is closed, 1 means it is openclosedOrOpen_list = list(closedOrOpen_str.split())temp2 = np.array(closedOrOpen_list,dtype=np.uint8)global closedOrOpenclosedOrOpen = np.append(closedOrOpen,temp2) #0 means the ith curve is closed, 1 means it is openfile_txt.write(closedOrOpen_str + '\n')global pointfor j in range(temp1[0]):point_str = str(raw_input("the coordinates of control points for the {}th Bezier Curve (eg: '0 0 0'):".format(i))) # control points for the ith Bezier Curvepoint_list = list(point_str.split())temp3 = np.array(point_list,dtype=np.float64)point = np.append(point,temp3) # control points for the ith Bezier Curvefile_txt.write(point_str + '\n')

需要注意的是，保存到txt里的是string类型。

3.4实现Bezier曲线的核心程序

def drawCurve(closedOrOpen,pointsNumber,point,point_index):C = []n = pointsNumber - 1 # n is fewer in numbers than the total control points number. According to definition.point_show = np.array([],dtype=np.float64)for i in range(n+1):point_show = np.append(point_show,point[point_index + i])  if (closedOrOpen == 0): # if it is closed, means the oth and nth control points are the same.n += 1point_show = np.append(point_show,point[point_index])elif (closedOrOpen == 1):passpoint_show = point_show.reshape((-1,3))#根据Bizier曲线定义if ((n+1) % 2 == 0):for i in range((n+1) / 2):up = 1down = 1j = nwhile (j > i):up *= jj = j - 1j = n - iwhile (j > 0):down *= jj = j - 1C.append(up / down)elif ((n+1) % 2 == 1):for i in range(n / 2):up = 1down = 1j = nwhile (j > i):up *= jj = j - 1j = n - iwhile (j > 0):down *= jj = j - 1C.append(up / down)up = 1down = 1j = nwhile (j > n/2):up *= jj = j - 1j = n/2while (j > 0):down *= jj = j - 1C.append(up / down)if (n%2 == 1):for i in range(int((n+1)/2)):C.append(C[int(n/2-i)])if (n%2 == 0):for i in range(int((n+1)/2)):C.append(C[int(n/2-i-1)])print("C",C) f = np.array([],dtype=np.float64)u = 0fx = 0fy = 0 #not this place!!fz = 0#print(f_unit.shape)print("point_show\n",point_show)print("n+1",n+1)for j in range(100): fx = 0fy = 0  #do not forget return 0!fz = 0for i in range(n+1):#这一条语句和Bezier曲线的表达式对应上了fx += C[i] * u**i * (1-u)**(n-i) * point_show[i][0]fy += C[i] * u**i * (1-u)**(n-i) * point_show[i][1]fz += C[i] * u**i * (1-u)**(n-i) * point_show[i][2]list = []list.append(fx)list.append(fy) list.append(fz)array_list = np.array([list],dtype=np.float64) u += 0.01f = np.append(f,array_list)f_show = f.reshape((-1,3))print(f_show.shape)#print(f_show)#show the control lines!ax.plot(f_show[:,0],f_show[:,1],f_show[:,2],'b.',markersize=1,label='open bazier curve')#bezier曲线，把'b.'改为'-'可以得到连续的曲线ax.plot(point_show[:,0],point_show[:,1],point_show[:,2],'-',markersize=1, label='control line')#控制点的连线ax.plot(point_show[:,0],point_show[:,1],point_show[:,2],'r.',markersize=8, label='control points')#控制点print(point_show.shape[0])

注意，当closedOrOpen为0时，也就是说这是一条封闭的Bezier，那么需要在末尾再把这个曲线的第一个控制点push进array里，这样就能首尾相连。

3.5 main()函数

inputType = input("Please choose data from text/0 or keyboard/1 ?:")
#print(inputType.type())if ( inputType == 0): # not '0'!!inputFromText()#从txt获取数据
elif ( inputType == 1):inputFromKeyboard()#从键盘获取数据point_index = 0
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')for i in range(m[0]):#绘制m条Bezier曲线drawCurve(closedOrOpen[i],pointsNumber[i],point,point_index)point_index += pointsNumber[i]#获取每一条Bezier曲线第一个控制点在数组中的位置ax.legend()
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
plt.show()

4.试验结果

这个结果是根据样例数据绘制，红色点为各个Bezier曲线的控制点，中间的点为Bezier曲线，如果在plt.plot()中增加"-"参数或者增加点数，j这条曲线就能更好看一些。

采用Ubuntu16.03进行调试，交互界面如上。下图为一个更加残暴的数据所绘制出来的图像。

所有代码的链接如下：https://github.com/iwander-all/CAD.git

参考文献
K. TANG, Fundamental Theories and Algorithms of CAD/CAE/CAM

【CAD算法】【计算机图形学】Bezier贝塞尔曲线生成程序(python/numpy实现)[1]相关推荐

计算机图形学作业（七）：利用 OpenGL 绘制 Bezier 贝塞尔曲线
计算机图形学作业( 七):利用 OpenGL 绘制 Bezier 贝塞尔曲线 Bezier 曲线原理 OpenGL 实现思路捕获鼠标点击时的坐标根据顶点画出连续的线段根据顶点画出 Bezier ...
计算机图形学中的曲线问题——贝塞尔曲线的绘制
贝塞尔曲线的绘制由于 CSDN 的博客修改字数的限制,我们不得不将这一部分放到一个新的博客中.原文详见: GGN_2015 计算机图形学中的曲线问题贝塞尔曲线的几何作图法在上面介绍儿时的回忆中, ...
计算机图形学中的曲线问题
文章目录免责前言拉格朗日插值多项式第一步:得到一个基函数第二步:得到所有基函数第三步:对所有基函数进行线性组合举例验证拉格朗日插值曲线绘制实践三次埃尔米特插值多项式第一步:得到第一 ...
刘慎权逝世：中国CAD与计算机图形学先驱，川大数学系校友，享年92岁
鱼羊发自凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI 巨星陨落! 昨晚,中科院计算所发布讣告称,我国计算机辅助设计(CAD)与计算机图形学领域杰出专家刘慎权先生,2022年10月12日在京逝世,享年9 ...
自动驾驶算法详解(5): 贝塞尔曲线进行路径规划的python实现
一.理论知识 1.路径规划定义路径规划智能物流.无人驾驶等智能领域中重要的组成部分.路径规划的目标是实现从目的地到终点之间寻找一条安全(无碰撞).高效(最短距离或最短时间)的一条最优或接近最优的路 ...
做出新闻联播片头的人走了：齐东旭教授逝世，中国CAD与计算机图形学痛失巨匠...
明敏发自凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI 中国CAD与计算机图形学领域巨匠齐东旭教授,不幸离世,享年83岁. <新闻联播>片头旋转地球的动画,正是出自他手. 齐东旭教授是澳门科 ...
计算机图形学Bezier曲线试题,《计算机图形学》试题-C卷及参考答案
计算机图形学试题 C 一.选择题(20分) 1.计算机图形显示器一般使用什么颜色模型?(A ) A. RGB B. CMY C. HSV D. HLS 2.分辨率为1024×1024的显示器各需要多少 ...
计算机图形学空间曲线,课程追忆之《计算机图形学》【曲线曲面篇】
大家好,距离上一篇博文将近一个月,时间过得好快,原本计划周更的,后面推到半月跟,实际到现在是月更,每次在准备写点什么的时候,都会被一些杂乱的事物打扰,哎,重度拖延症.懒癌晚期- 继上次述说了<计 ...
[1106]python bezier(贝塞尔)曲线
文章目录三阶贝塞尔曲线 python bezier曲线首先简单了解一下什么是贝塞尔曲线(余弦函数曲线我就不多说了哈!),贝塞尔曲线又称贝兹曲线,是法国工程师皮埃尔.贝塞尔于1962年发表.贝塞尔曲 ...

【CAD算法】【计算机图形学】Bezier贝塞尔曲线生成程序(python/numpy实现)[1]