投影矩阵概述

在得到相机坐标后，就相当于得到了人眼观察世界中物体的坐标，但是我们需要把物体映射到一个二维平面上用于显示，投影矩阵就起到把三维坐标映射到二维坐标的作用，同时因为三维空间有深度的概念，因此把Z轴转化成深度。W作为一个系数，用于检测是否超出窗口范围。

投影变换最终的效果是把各个坐标映射到[−1,1][-1,1][−1,1]之间，然后再乘以相应的屏幕高度和宽度，得到最终的屏幕坐标。[−1,1][-1,1][−1,1]的坐标又成为NDC坐标

推导过程参照：http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html ，一般直接套公式使用即可。

透视投影

Mprojection=[2nr−l0r+lr−l002nt+bt−b000−f+nf−n−2fnf−n00−10]\bf{M}_{projection}= \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0\\ 0 & \frac{2}{n} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} Mprojection=⎣⎢⎢⎡r−l2n0000n200r−lr+lt−bt+b−f−nf+n−100−f−n2fn0⎦⎥⎥⎤
n是近平面距离，f是远平面距离。l、r、t、b分别是左右上下
此时变换完成后，还不是NDC坐标，需要每个坐标乘以www分量才行，下面的操作：
[xclipyclipzclipwclip]=Mprojection[xeyeyeyezeyeweye]\begin{bmatrix} x_{clip}\\y_{clip}\\z_{clip}\\w_{clip} \end{bmatrix}=\bf{M}_{projection}\begin{bmatrix} x_{eye}\\y_{eye}\\z_{eye}\\w_{eye} \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡xclipyclipzclipwclip⎦⎥⎥⎤=Mprojection⎣⎢⎢⎡xeyeyeyezeyeweye⎦⎥⎥⎤
其中，eye表示相机坐标，clip表示初步映射的坐标。

之后，再除以www分量，得到NDC坐标：
[xndcyndczndc]=[xclip/wclipyclip/wclipzclip/wclip]\begin{bmatrix} x_{ndc}\\y_{ndc}\\z_{ndc} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_{clip}/w_{clip}\\y_{clip}/w_{clip}\\z_{clip}/w_{clip} \end{bmatrix} ⎣⎡xndcyndczndc⎦⎤=⎣⎡xclip/wclipyclip/wclipzclip/wclip⎦⎤
如果NDC不在[-1,1]，表示超出屏幕范围，不能显示。

正交投影

正交投影的基本步骤是一致的，只是变换矩阵不同：
[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b00−2f−n−f+nf−n0001]\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & -\frac{2}{f-n} & -\frac{f+n}{f-n} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡r−l20000t−b20000−f−n20−r−lr+l−t−bt+b−f−nf+n1⎦⎥⎥⎤

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