[SCOI2014]方伯伯的玉米田

题目链接

算法：

为了保证DP的正确与方便，这里先提供一个结论：每次操作都一定要拔高第n棵玉米。

以下引用NS·YJD大佬的一篇博客的证明：

首先无论操作区间在哪里，如果区间两边存在玉米，那么这些玉米与区间内玉米拔高后的相对高度关系只有3种情况：1.原本区间内比它们高的玉米还是比它们高。2.原本区间内比它们矮的玉米不再比它们矮。3.原本区间内比它们矮的玉米还是比它们矮。

对于区间左边而言：

这三种情况都不会减少初始排列中已存在的最长不下降序列的长度，并且有可能使它增长

对于区间右边而言：

这三种情况都不会增加初始排列中已存在的最长不下降序列的长度，并且有可能使它减少

如此一来我们就可以发现，要想得到最长不下降序列，区间的右边不存在玉米的情况一定是最优解。

由此，我们可以设 $f[i][j]$ 为以第i个玉米高度为结尾，且第i个玉米拔高j次的最长上升子序列的长度。

所以状态转移方程即为 $f[i][j]=max\left \{ f[x][y]\left ( a[x]+y<=a[i]+j,y<=j \right ) \right \}$ ，（此时“,"表示“且”）

转移我们则可以用二维树状数组维护前缀最大值（相当于我们将 $f[i][j]$ 的值转化为 $f[a[i]+j][j]$ 的值，然后求 $f[1][1],f[1][2],....,f[1][j],...,f[a[i]+j][j]$ 中的最大值）。

注意：由于j的值可以为0，在作为树状数组的下标中，我们修改与查询就可以把第二位坐标+1。

所求答案一目了然吧。。。。。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define rep2(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
using namespace std;
template<typename T> void read(T &num){char c=getchar();num=0;T f=1;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48);c=getchar();}num*=f;
}
template<typename T> void qwq(T x){if(x>9)qwq(x/10);putchar(x%10+'0');
}
template<typename T> void write(T x){if(x<0){x=-x;putchar('-');}qwq(x);putchar('\n');
}
template<typename T> void chkmax(T &x,T y){x=x>y?x:y;}int n,k,sx;
int co[10010];int tree[6010][510];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
inline void change(int x,int y,int w){while(x<=sx+k){int pos=y;while(pos<=k+1){chkmax(tree[x][pos],w);pos+=lowbit(pos);}x+=lowbit(x);}return;
}
inline int query(int x,int y){int ans=0;while(x){int pos=y;while(pos){chkmax(ans,tree[x][pos]);pos-=lowbit(pos);}x-=lowbit(x);}return ans;
}int main(){read(n);read(k);sx=0;rep(i,1,n){read(co[i]);chkmax(sx,co[i]);}rep(i,1,n){rep2(j,k,0){change(co[i]+j,j+1,query(co[i]+j,j+1)+1);}}write(query(sx+k,k+1));return 0;
}

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