笔记：戴蒙德模型——参数变化的影响

考察具有对数效用函数与柯布道格拉斯生产函数的戴蒙德模型。当产生某些变化是如何影响作为ktk_tkt的函数kt+1k_{t+1}kt+1。

nnn的上升
t+1t+1t+1期的资本存量等于年轻人在ttt期的储蓄，因此
Kt+1=s(rt+1)LtAtwtK_{t+1}=s(r_{t+1})L_tA_tw_tKt+1=s(rt+1)LtAtwt
两边同除以At+1Lt+1A_{t+1}L_{t+1}At+1Lt+1得单位有效劳动的平均资本
kt+1=1(n+1)(1+g)s(rt+1)wtk_{t+1}=\frac{1}{(n+1)(1+g)}s(r_{t+1})w_tkt+1=(n+1)(1+g)1s(rt+1)wt
其中rt+1=f′(kt+1),wt=f(kt)−ktf′(kt)r_{t+1}=f'(k_{t+1}),w_t=f(k_t)-k_tf'(k_t)rt+1=f′(kt+1),wt=f(kt)−ktf′(kt).
kt+1=1(n+1)(1+g)s(f′(kt+1))[f(kt)−ktf′(kt)]k_{t+1}=\frac{1}{(n+1)(1+g)}s(f'(k_{t+1}))[f(k_t)-k_tf'(k_t)]kt+1=(n+1)(1+g)1s(f′(kt+1))[f(kt)−ktf′(kt)]
已知s(r)=(1+r)(1−θ)/θ(1+ρ)1/θ+(1+r)(1−θ)/θs(r)=\frac{(1+r)^{(1-\theta)/\theta}}{(1+\rho)^{1/\theta}+(1+r)^{(1-\theta)/\theta}}s(r)=(1+ρ)1/θ+(1+r)(1−θ)/θ(1+r)(1−θ)/θ
当θ=1\theta=1θ=1,s(r)s(r)s(r)与rrr无关
s(r)=12+ρs(r)=\frac{1}{2+\rho}s(r)=2+ρ1
而且当生产函数为柯布道格拉斯生产函数时，f(k)=ka,f′(k)=aka−1f(k)=k^a,f'(k)=ak^{a-1}f(k)=ka,f′(k)=aka−1,代入kt+1k_{t+1}kt+1表达式得
kt+1=1(1+n)(1+g)12+ρ(1−a)ktak_{t+1}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}(1-a)k_t^akt+1=(1+n)(1+g)12+ρ1(1−a)kta
那么nnn的上升会使kt+1k_{t+1}kt+1向下移动。
aaa的上升。
对kt+1k_{t+1}kt+1的表达式进行求导
∂kt+1∂a=1(1+n)(1+g)12+ρ[−kta+(1−a)∂kta∂a]\frac{\partial k_{t+1}}{\partial a}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}[-k_t^a+(1-a)\frac{\partial k_t^a}{\partial a}]∂a∂kt+1=(1+n)(1+g)12+ρ1[−kta+(1−a)∂a∂kta]
其中
∂kta∂a=∂kta∂(lnkta)∂(lnkta)∂a=1∂lnkta/∂ktaalnkt∂a=ktalnkt\frac{\partial k_t^a}{\partial a}=\frac{\partial k_t^a}{\partial (lnk_t^a)}\frac{\partial (lnk_t^a)}{\partial a}\\=\frac{1}{\partial lnk_t^a/\partial k_t^a}\frac{alnk_t}{\partial a}=k_t^alnk_t∂a∂kta=∂(lnkta)∂kta∂a∂(lnkta)=∂lnkta/∂kta1∂aalnkt=ktalnkt
代入得
∂kt+1∂a=1(1+n)(1+g)12+ρ[−kta+(1−a)ktalnkt]=1(1+n)(1+g)12+ρkt[(1−a)lnkt−1]\frac{\partial k_{t+1}}{\partial a}=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}[-k_t^a+(1-a)k_t^alnk_t]\\=\frac{1}{(1+n)(1+g)}\frac{1}{2+\rho}k_t[(1-a)lnk_t-1]∂a∂kt+1=(1+n)(1+g)12+ρ1[−kta+(1−a)ktalnkt]=(1+n)(1+g)12+ρ1kt[(1−a)lnkt−1]
当(1−a)lnkt−1]>0(1-a)lnk_t-1]>0(1−a)lnkt−1]>0,一阶导大于0，所以kt+1k_{t+1}kt+1随着aaa的增大而增大。

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