杭电2019多校第三场 HDU-6608 Fansblog（威尔逊定理+素数间隔+逆元）

威尔逊定理：在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大。

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

题意：T组样例。每组样例，给出一个素数P(1e9≤P≤1e14)，Q是P的前一个素数求Q！%P。

思路：由威尔逊定理得： $(P-1)! mod P=-1$ ，即 $(P-1)!mod P=P-1$ 。又因为 $(Q!)*(Q+1)*(Q+2)*...*(P-1)=(P-1)!$ ，得到 $Q!(modP)=\frac{(P-1)!}{(Q+1)*(Q+2)*...*(P-1)} (mod P)$ 。

因为两个素数之间的间隔不会超过300,我们从P-1开始一个个查验找Q。再把（P-1）乘上[Q,P-1]的逆元即可。注意因为数很大，所有涉及乘的地方都要用快速乘。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e7+10;
ll mod;
int prime[N+10],cnt;
bool vis[N+10];
bool is_prime(ll x)
{for(int i=0;i<cnt&&(ll)prime[i]*prime[i]<=x;i++){if(x%prime[i]==0)return 0;}return 1;
}
void get_prime()
{for(int i=2;i<=N;i++){if(!vis[i])prime[cnt++]=i;for(int j=0;j<cnt&&(ll)i*prime[j]<=N;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0) break;    }    }
}
ll mul(ll a,ll b)
{ll res=0;while(b){if(b&1) res=(res+a)%mod;a=(a+a)%mod;b>>=1;}return res%mod;
}
ll poww(ll a,ll b)
{ll res=1;while(b){if(b&1) res=mul(res,a);a=mul(a,a);b>>=1;}return res;
}
int main(void)
{int t;get_prime(); ll p,q;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%lld",&p);mod=p;q=p-1;while(!is_prime(q)) q--;//cout<<pp<<endl;ll ans=p-1;for(ll i=q+1;i<=p-1;i++)ans=mul(ans,poww(i,mod-2));printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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