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2020杭电暑期多校02 10 - Lead of Wisdom (HDU6772) 常数坑

如果一直 TLE，就看第三章。

一、题意

物品可能的种类有 kkk 种，编号为 [1,k][1,k][1,k]。

有 nnn 件物品，第 iii 件物品属于某一种类 tit_iti 并拥有四个非负整数的属性值 ai,bi,ci,dia_i,b_i,c_i,d_iai,bi,ci,di。

现在，我们对每一种类最多取其中一件物品，最终得到所取出物品的集合 SSS（元素为所取物品的编号），则我们的总收获为
DMG=(100+∑i∈Sai)(100+∑i∈Sbi)(100+∑i∈Sci)(100+∑i∈Sdi)DMG = (100+\sum_{i\in S} a_i)(100+\sum_{i\in S} b_i)(100+\sum_{i\in S} c_i)(100+\sum_{i\in S} d_i) DMG=(100+i∈S∑ai)(100+i∈S∑bi)(100+i∈S∑ci)(100+i∈S∑di)
求能得到的最大收获。

样例数T≤10;样例数 T\leq 10;样例数T≤10;

n,k≤50;1≤ti≤k;0≤ai,bi,ci,di≤100;n,k\leq 50; 1\leq t_i\leq k; 0\leq a_i,b_i,c_i,d_i\leq 100;n,k≤50;1≤ti≤k;0≤ai,bi,ci,di≤100;

注意，样例输入隐含了重要题意信息：

1
6 4
1 17 25 10 0
2 0 0 25 14
4 17 0 21 0
1 5 22 0 10
2 0 16 20 0
4 37 0 0 0

二、题解

发现数据较小，先考虑暴力搜索，下面证明其可行性。

首先，既然属性值非负，那么我们对每个种类都应取一件物品，除非这一种类不含任何物品。

当总共有 k=k0k=k_0k=k0 种种类时，最大复杂度是多少？设第 iii 种有 cnticnt_icnti 件物品，则复杂度为 Πi=1kcnti\Pi_{i=1}^k cnt_iΠi=1kcnti。显然，当每种物品数量比较均衡时上述乘积达到最大。具体来说，由于每组平均有 nk\frac{n}{k}kn 件物品，我们可令含有 ⌈nk⌉\lceil \frac{n}{k} \rceil⌈kn⌉ 件物品的种类数为 nmodkn\mod knmodk，其余种类含有 ⌊nk⌋\lfloor \frac{n}{k}\rfloor⌊kn⌋ 件物品，则最为平均。

然后我们再对 k0k_0k0 取 [1,50][1,50][1,50] 各值，发现当种类数 k0=17k_0=17k0=17 时复杂度最大：

则暴力搜索的单样例复杂度约 8.6∗1078.6*10^78.6∗107，总复杂度达 8.6∗1088.6*10^88.6∗108，本地电脑实测可以过。

然而，交上去却TLE，对此我们进行了各类优化：递归改为用栈循环并进一步改成手写栈、减少 long long 运算（因为在最后一步相乘得答案前，加法不会爆 int）都没用。

三、本题的坑

仔细研究样例，会发现虽然输入 k=4k=4k=4，但实际物品种类只有三种，即允许有种类是不含任何物品的（第二章也稍稍提到了）。再看官方题解和各博客，发现多次提及 cnti=0cnt_i=0cnti=0 的种类应跳过。这便引出了此题又一个巨大的常数……

以种类数为 171717 为例，此时最坏情况有 161616 个种类含三件物品、111 个种类含两件物品。然而当输入 k=50k=50k=50 时，就会有 333333 个空的种类（不含任何物品）！把dfs过程视为一棵树，我们本应递归 171717 层访问 8.6∗1088.6*10^88.6∗108 个叶子节点（可能情况），但如果这 333333 个空种类（空递归层）造成的树链被加在了每个叶子的下方（这是最坏情况，当然这些链也可能加在中间层），就会增加 8.6∗108∗338.6*10^8*338.6∗108∗33 次递归调用（树上节点）！这只是举例，最坏情况也不一定发生在 171717 种种类时呢？没有进一步计算探究了。

解决方法很简单，每组样例只需要在dfs前花费 O(50)O(50)O(50) 遍历一遍所有种类，用链表记录非空种类，后续递归只关注链表上的种类即可。

四、AC代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long longint t[55], a1[55], b1[55], c1[55], d1[55];
std::vector<int> items[55];  // items[i] stores the (id of) items of the i-th type.
int next_type[55];
int last_type;ll max_ans;void dfs(int ind , int a , int b , int c , int d){if(ind==0){max_ans = std::max( max_ans , 1LL*a*b*c*d );return;}for(int i=0 ; i<items[ind].size() ; ++i){int j=items[ind][i];dfs(next_type[ind] , a+a1[j] , b+b1[j] , c+c1[j] , d+d1[j]);}
}int main(){int T;scanf("%d" , &T);while(T--){int n,k;scanf("%d%d" , &n , &k);for(int i=1 ; i<=k ; ++i) items[i].clear();for(int i=1 ; i<=n ; ++i){scanf("%d%d%d%d%d" , &t[i] , &a1[i] , &b1[i] , &c1[i] , &d1[i]);items[t[i]].push_back(i);}last_type=51;for(int i=k ; i>=1 ; --i){if(items[i].size()==0) continue;next_type[last_type]=i;last_type = i;}next_type[last_type]=0;max_ans=0;dfs(next_type[51] , 100 , 100 , 100 , 100);printf("%lld\n" , max_ans);}return 0;
}