python 处理锯齿波信号

预期学习目标（ILO）：
您应该
了解傅里叶分析在时域中周期性信号的基础，即如何将周期性时域信号分解为基频。
能够从头编程周期波形，并将其与“scipy”版本进行比较。
使用离散傅里叶变换获得第一次经验。
了解Python库的基本用法

# Let's do the ususal necessary and nice-to-have imports
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt  # plotting
import seaborn as sns; sns.set() # styling (uncomment if you want)
import numpy as np               # math

频率分析（周期信号）
傅里叶定理指出，任何频率为f0的周期信号都可以通过将频率为f0,2f0,3f0,4f0,5f0等的“正弦波”（正弦波）相加而精确地构建。将周期时域信号分割为正弦波称为傅里叶分析。
“傅里叶级数”中的每个正弦曲线的特征在于频率振幅，以及阶段
f0被称为基频。2f0、3f0、4f0等被称为谐波。

任务1:生成锯齿波信号
最简单形式的锯齿波信号定义为Xsaw(t)=t−⌊t⌋
下面的代码使用scipy中的锯齿（）生成了频率为f=200 Hz的锯齿信号，持续时间为2秒。

from scipy import signal as sig     # for easy sawtooth signal generation
from IPython import display as ipd  # to playback audio signalsfs=8000                   # sampling frequency
t = np.arange(0, 2, 1/fs) # time vectorf = 200                   # frequency in Hz for scipy sawtooth
saw_tooth = sig.sawtooth(2 * np.pi * f * t)# plot first 20 ms (=160 samples at sampling frequency of 8000 Hz)
plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(t[0:160], saw_tooth[0:160], '--', label='scipy sawtooth');
plt.xlabel('time $t$ in seconds'); plt.ylabel('$x(t)$')
plt.legend();# calculate the spectum (frequency domain representation)
FFT_length = 2**15 # take a power of two which is larger than the signal length
f = np.linspace(0, fs/2, num=int(FFT_length/2+1))
spectrum = np.abs(np.fft.rfft(saw_tooth,n=FFT_length))# plot the spectrum
plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(f,spectrum)
plt.xlabel('frequency $f$ in Hz')
plt.ylabel('$x(f)$')plt.tight_layout() # this allowes for some space for the title text.# playback sound file (if you want)
ipd.Audio(saw_tooth, rate=fs)

在np.fft中，有fft和rfft可以选择。如果样本数据的总数量为N，fft函数返回N个变换后的数据，但是这N个数据是左右对称的，即有效的实际数据只有N/2+1个。而rfft直接只返回N/2+1个数据，可以不用处理直接使用。

saw_tooth = sig.sawtooth(2 * np.pi * f * t)?
t[0:160] dos the 160 means 160 seconds?

当查看上图右面板中的频谱时，我们看到它是由等距离谱线组成的，对于更高的频率具有衰减幅度。

任务2: 锯齿波信号的傅里叶级数
从FourierSeriesSawtoothSimple生成前四个正弦波，并显示这些正弦波的叠加会产生锯齿波信号。对于简单的可视化，您可以选择fs=8000 Hz，f0=2 Hz，时间向量t的长度为2秒。但可以随意使用这些值。
提示：最好将锯齿波生成作为一个函数来实现，例如使用以下界面：generateSawTooth（f0=1，length=2，fs=8000，order=10）
正弦（和余弦）振荡可以被视为从卡地斯坐标系中心到单位圆的向量投影，在单位圆上移动到x轴和y轴。
如果我们在第一个正弦的顶部加上第二个正弦（这里是双频（2ω0），但振幅的一半），即要实现sin（ω0t）+0.5sin（2Ω0t），这可以解释为从单位圆上的当前值（下图左面板中的绿点）开始向半径为一半的第二个圆添加另一个矢量（振幅因子0.5）。该信号已经变得“有点锯齿状”。右面板显示了频谱内容，即在各个正弦信号的频率下的两条谱线。

fs=8000 # sampling frequencyt=np.arange(0,2,1/fs) # time vector
f0=2                  # fundamental frequency in Hzsin1=np.sin(2*np.pi*f0*t)
sin2=np.sin(2*np.pi*2*f0*t)/2
sin3=np.sin(2*np.pi*3*f0*t)/3
sin4=np.sin(2*np.pi*4*f0*t)/4plt.figure(figsize=(8, 6))plt.subplot(4,2,1)
plt.plot(t,sin1,label='$\mathrm{sin}(\omega_0 t$)')
plt.ylabel('$x_1(t)$')
plt.legend()plt.subplot(4,2,3)
plt.plot(t,sin2,label='$\mathrm{sin}(2 \omega_0 t$)/2')
plt.ylabel('$x_2(t)$')
plt.legend()plt.subplot(4,2,4)
plt.plot(t,sin1+sin2,label='$x_1(t)+x_2(t)$')
plt.legend()plt.subplot(4,2,5)
plt.plot(t,sin3,label='$\mathrm{sin}(3 \omega_0 t$)/3')
plt.ylabel('$x_3(t)$')
plt.legend()plt.subplot(4,2,6)
plt.plot(t,sin1+sin2+sin3,label='$x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)$')
plt.legend()plt.subplot(4,2,7)
plt.plot(t,sin4,label='$\mathrm{sin}(4 \omega_0 t$)/4')
plt.ylabel('$x_4(t)$')
plt.xlabel('time $t$ in seconds')
plt.legend()plt.subplot(4,2,8)
plt.plot(t,sin1+sin2+sin3+sin4,label='$x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)+x_4(t)$')
plt.xlabel('time $t$ in seconds')
plt.legend()plt.tight_layout() # this allowes for some space for the title text.
None               # this suppresses text output in the Jupyter Notebook

请注意，左侧面板中的正弦曲线振幅减小（参见y轴标签）。
作为函数的实现（下面的generateSawTooth（））当然在代码重用性方面更有效：

def generateSawTooth(f0=1, length = 2, fs=8000, order=10, height=1):"""Return a saw-tooth signal with given parameters.Parameters----------f0 : float, optionalfundamental frequency $f_0$ of the signal to be generated,default: 1 Hzlength : float, optionallength of the signal to be generated, default: 2 sec.fs : float, optionalsampling frequency $f_s$, default: 8000 Hzorder : int, optionalnumber of sinosuids to approximate saw-tooth, default: 10height : float, optionalheight of saw-tooth, default: 1Returns-------sawToothgenerated sawtooth signaltmatching time vector"""t=np.arange(0,length,1/fs) # time vectorsum = np.zeros(len(t))for ii in range(1,order+1):sum += np.sin(2*np.pi*ii*f0*t)/iireturn 2*height*sum/np.pi, t# generate a sawtooth signal composed of 10 sinusoids
f0 = 2 # signal frequency in Hz
saw,t = generateSawTooth(f0=f0,order=10)
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(t,saw)
plt.xlabel('time $t$ in seconds');
plt.title('Saw-tooth signal generated from 10 sinusoids')# generate a sawtooth signal composed of 100 sinusoids
saw,t = generateSawTooth(f0=f0,order=100)
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(t,saw,label='sawtooth Fourier')
plt.xlabel('time $t$ in seconds');
plt.title('Saw-tooth signal generated from 100 sinusoids')# compare to the sawtooth signal generated by scipy
# the multiplication with -1 just flips the sawtooth to plot it
# fitting to what we just generated
saw_scipy = -1 * sig.sawtooth(2 * np.pi * f0 * t)plt.plot(t, saw_scipy, '--', label='scipy sawtooth');
plt.legend();plt.tight_layout() # this allowes for some space for the title text.

saw,t = generateSawTooth(f0=f0,order=10)?
在下面板中，使用scipy的sawtooth（）函数生成的波形。信号库进行了对比，以明确您可以使用scipy.signal.sawtooth（）（更好地理解）编程。

任务4:矩形傅里叶级数 /矩形波

def generateSquare(f0=1, length = 2, fs=8000, order=10):t=np.arange(0,length,1/fs)  # time vectorsum = np.zeros(len(t)) # pre-allocate variable with zeros for ii in range(1, order+1, 2):sum += np.sin(2*np.pi*ii*f0*t)/ii#print(str(ii)+': adding sin(2 $\pi$ '+str(ii*f0)+' Hz t)')return 4/np.pi*sum, t# let's use the function and generate and plot a square wave form
f0=1 # desired frequency in Hz
rec,t = generateSquare(f0,order=20)
plt.plot(t,rec,label='square Fourier');
plt.ylabel('rectangular signal $x_{\mathrm{rect}}(t)$')
plt.xlabel('time $t$ in seconds');# compare to the rectangular/square wave signal generated by scipy
rec_scipy = sig.square(2 * np.pi * f0 * t)
plt.plot(t,rec_scipy,'--',label='scipy square wave')
plt.legend();

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