Python 算法设计与分析 投资问题
Python 算法设计与分析 投资问题
投资问题
题目：设有m元钱，n项投资，函数fi(x)表示将x元投入第i项项目所产生的效益，i=1,2,3，…，n。问：如何分配这m元钱，使得投资的总效益最高？
实例：5万元钱，4个项目
| x | f1(X) | f2(X) | f3(X) | f4(X) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 11 | 0 | 2 | 20 |
| 2 | 12 | 5 | 10 | 21 |
| 3 | 13 | 10 | 30 | 22 |
| 4 | 14 | 15 | 32 | 23 |
| 5 | 15 | 20 | 40 | 24 |
需要生成一个二维数组F，F[i] [j]表示前i个项目投资j元钱的最大效益，使用动态规划，要将此问题划分为子问题，从一个项目，第二个项目，…，直到第u个项目时，为u分配x元钱，n-x元钱的最大效益为F[]
子问题界定：由参数k和x界定
K：考虑对项目1,2，…，k的投资 x: 投资总钱数不超过x
当K =1 时
F1(1) = 11, F1(2) = 12, F1(3) = 13 , F1(4) = 14, F1(5) = 15
当K =2 时
(0,1) （1,0） F2(1) = max {f2(1), f1(1)} = 11
(0,2) (1,1) (2,0) F2(2) = max{f2(2), F1(1)+f2(1), F1(2)} =12
(0,3) (1,2) (2,1) (3,0) F2(3) = max{f2(3),F1(1)+f2(2), F1(2)+f2(1), F1(3)} = 16
类似的 F2(4) = 21
F2(5) = 26
代码实现
import numpy as npm = 5 # 投资总额
n = 6
k = 4 # 项目数
# m元钱，n项投资 k个项目
dp = np.zeros((m, n)) # dp[i][j] 从1-i号项目中选择，投资j万元，所取得的最大收益
mark = np.zeros((m, n)) # 从1-i号项目中选择，投资j万元，获得最大收益时，在第i号项目中投资了多少钱
f = np.array([[0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 11, 12, 13, 14, 15],[0, 0, 5, 10, 15, 20],[0, 2, 10, 30, 32, 40],[0, 20, 21, 22, 23, 24]])# 初始化第一行
for j in range(m + 1):dp[1][j] = f[1][j]mark[1][j] = j
for i in range(1, k + 1):for j in range(1, m + 1):for k in range(j):if dp[i][j] < f[i][k] + dp[i - 1][j - k]:dp[i][j] = f[i][k] + dp[i - 1][j - k] # 更新当前最优解mark[i][j] = k # 更新标记函数print("最大收益", dp[4][5])for i in range(1, k + 1):for j in range(m + 1):print("(%d, %d)" % (dp[i][j], mark[i][j]), end="\t")print("\n")for i in range(k, 0, -1):print(f"第{i}个项目投资{mark[i][m]}元")m = m - int(mark[i][m])运行结果：
算法复杂度
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