关于（求和符号∑）不可不知的事情

文章向导

从单重求和谈起（定义与基本性质）
多重求和（二重情况）
求和的实际应用（等比级数）

引言：
　　求和符号经常活跃于数学或工程实际问题中，特别是处于多重求和情况时，连用的求和符号存在运算的优先顺序，有时我们可以直接互换不同求和符号之间的位置，而有时不同的位置则代表不同的求和意义。因此，关于求和符号∑的问题还是很有必要进行一番细致的讨论。

一、从单重求和谈起
　　我们通过一个稍微简单的例子来回顾下求和符号的使用（如下所示）。∑i=110g(k,l)h(i,j)=g(k,l)∑i=110h(i,j)\sum_{i=1}^{10}{g\left( k,l \right) h\left( i,j \right)}=g\left( k,l \right) \sum_{i=1}^{10}{h\left( i,j \right)}i=1∑10g(k,l)h(i,j)=g(k,l)i=1∑10h(i,j)
　　求和符号展开的关键在于替换所有的计数下标，本例中g(k,l)g\left( k,l \right)g(k,l)与计数下标i无关，故可直接提取到求和符号外。最终结果如下所示：g(k,l)(h(1,j)+h(2,j)+⋅⋅⋅+h(10,j))g\left( k,l \right) \left( h\left( \text{1,}j \right) +h\left( \text{2,}j \right) +···+h\left( \text{10,}j \right) \right) g(k,l)(h(1,j)+h(2,j)+⋅⋅⋅+h(10,j))

二、多重求和（二重情况）
　　当出现两个及以上的求和符号时，它们之间必然存在着某种运算的优先顺序。为便于理解和阅读，我们也可以适当对其添加括号来明确这种运算顺序。比如下面这样：∑i=13∑j=14f(i,j)=∑i=13(∑j=14f(i,j))=∑i=13(f(i,1)+f(i,2)+f(i,3)+f(i,4))\sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{i=1}^3{\left( \sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right)} \right)}}}=\sum_{i=1}^3{\left( f\left( i,1 \right) +f\left( i,2 \right) +f\left( i,3 \right) +f\left( i,4 \right) \right)}i=1∑3j=1∑4f(i,j)=i=1∑3(j=1∑4f(i,j))=i=1∑3(f(i,1)+f(i,2)+f(i,3)+f(i,4))
　　实际上，由于计数下标i和j的范围不同，上述双重求和表达式中的两个求和符号的顺序可以互换，即可以写成下面这种形式：∑i=13∑j=14f(i,j)=∑j=14∑i=13f(i,j)\sum_{i=1}^3{\sum_{j=1}^4{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^3{f\left( i,j \right)}}}}i=1∑3j=1∑4f(i,j)=j=1∑4i=1∑3f(i,j)
　　既然存在可以直接互换的情况，那么也必然存在求和符号顺序不可直接互换的情况，比如下面这个例子，如果强行直接互换两者，那么其表达式的意义也就发生了变化。
　　
原式：∑i=14∑j=1if(i,j)原式：\sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right)}}原式：∑i=14∑j=1if(i,j)　　(2-1)

错误的表达式：∑j=1i∑i=14f(i,j)错误的表达式：\sum_{j=1}^i{\sum_{i=1}^4{f\left( i,j \right)}}错误的表达式：∑j=1i∑i=14f(i,j)　(2-2)

意义已变：∑j=14∑i=1jf(i,j)意义已变：\sum_{j=1}^4{\sum_{i=1}^j{f\left( i,j \right)}}意义已变：∑j=14∑i=1jf(i,j)　(2-3)
　　首先分析下式（2-1），由于j的范围取决于i，因此我们不能直接互换两个求和符号的顺序。如果强行互换得到式(2-2)，将得到一个错误的表达式，其错误之处在于∑j=1i\sum_{j=1}^i{}∑j=1i已经使用了计数下标i，所以内层求和符号不能再使用i作为计数下标。
　　那么，如（2-3）这样机械式的互换是否又是可行的呢？答案是否定的，虽然如此互换后得到的式子是正确的，但含义却已改变（与原式对比很容易观察到）。
　　
　　正确的替换方式如下所示，到此的读者可以用心感悟下它与前面几种做法的区别：∑i=14∑j=1if(i,j)=∑j=14∑i=j4f(i,j)\sum_{i=1}^4{\sum_{j=1}^i{f\left( i,j \right) =\sum_{j=1}^4{\sum_{i=j}^4{f\left( i,j \right)}}}}i=1∑4j=1∑if(i,j)=j=1∑4i=j∑4f(i,j)
　　等式两边可以按照穷举法的思路来进行理解，为便于说明笔者将给出一份表格来辅助解释。（等式左右两边都表示表格中所有项相加之和）
　　
　　左边：穷举i的取值，内层元素求和，在表格中体现为依次横排相加。
　　右边：穷举j的取值，内层元素求和，在表格中体现为竖排相加。
　　
　　最后，谈一个小技巧（也是容易出错的地方）。比如下面这个式子，简单理解来看，似乎可以直接将平方展开。但正如前面所说，由于外层求和使用了计数下标i，故内层必须使用其他字母来作为计数下标。
(∑i=15f(i))2=(∑i=15f(i))∗(∑i=15f(i))≠∑i=15∑i=15f(i)f(i)\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) ^2=\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) *\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) \ne \sum_{i=1}^5{\sum_{i=1}^5{f\left( i \right) f\left( i \right)}} (i=1∑5f(i))2=(i=1∑5f(i))∗(i=1∑5f(i))=i=1∑5i=1∑5f(i)f(i)

故正确的表达形式应该改为如下所示（内层计数下标为j）
(∑i=15f(i))2=(∑i=15f(i))∗(∑i=15f(i))=∑i=15∑j=15f(i)f(j)\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) ^2=\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) *\left( \sum_{i=1}^5{f\left( i \right)} \right) =\sum_{i=1}^5{\sum_{j=1}^5{f\left( i \right) f\left( j \right)}} (i=1∑5f(i))2=(i=1∑5f(i))∗(i=1∑5f(i))=i=1∑5j=1∑5f(i)f(j)
三、求和的实际应用（等比级数）
　　等比数列{aia_iai}其求和公式可以描述为如下的形式（设m⩽nm\leqslant nm⩽n，其中r为公比，通项公式为ai=ria_i=r^iai=ri）：
∑i=mnri=rm−rn+11−r=a1−an∙r1−r(r≠1)\sum_{i=m}^n{r^i=\frac{r^m-r^{n+1}}{1-r}}=\frac{a_1-a_n\bullet r}{1-r}\,\,\left( r\ne 1 \right) i=m∑nri=1−rrm−rn+1=1−ra1−an∙r(r=1)
　　当n→∞n\rightarrow \inftyn→∞时，上述就成为了等比级数，此时等式转换为：
∑i=1∞ri=r1−r(∣r∣<1)（3−1）\sum_{i=1}^{\infty}{r^i=\frac{r}{1-r}\,\,\,\,\left( |r|<1 \right)} （3-1） i=1∑∞ri=1−rr(∣r∣<1)（3−1）
　　当∣r∣⩾1|r|\geqslant 1∣r∣⩾1时，上述的求和表达式不收敛。
　　借助式（3-1）与微分的特性，我们还能导出另一条有用的结论。先对（3-1）式关于r进行微分，然后两边乘以r可得到如下等式：
（先微分）∑i=1∞iri−1=1(1−r)2（先微分）　\sum_{i=1}^{\infty}i{r^{i-1}=\frac{1}{\left( 1-r \right) ^2}} （先微分）　i=1∑∞iri−1=(1−r)21
（两边同乘以r）∑i=1∞iri=r(1−r)2(∣r∣<1)（3−2）（两边同乘以r）\sum_{i=1}^{\infty}{ir^i=\frac{r}{\left( 1-r \right) ^2}}\,\,\left( |r|<1 \right) （3-2）（两边同乘以r）i=1∑∞iri=(1−r)2r(∣r∣<1)（3−2）
　　最后得到的（3-2）式也是经常会用到的结论，希望读者能掌握这种推导演算思路。

参阅资料
程序员的数学（概率统计）
高等数学（同济6版）
普林斯顿微积分读本

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