求和符号的定义和性质

1. ∑\sum∑的定义

在数学中经常遇到多项式求和的问题, 为了表述的方便, 引入了求和符号来简化表述的方法, 并且这样的的表述方法非常普遍, 因此了解求和符号∑\sum∑及其运算性质就非常重要.
看下面的和式:
a1+a2+...+ana_1+a_2+...+a_na1+a2+...+an 表示n个数的和, 为了简化表述, 在1820年Joseph Fourier引入了定界的∑\sum∑表示法, 并且得到了应用普及. 上述和式表达如下:
a1+a2+...+an=∑k=1naka_1 + a_2 + ... + a_n = \sum_{k=1}^n a_ka1+a2+...+an=k=1∑nak
在∑k=1nak\sum_{k=1}^na_k∑k=1nak中, kkk称为指标变量(指标变量用什么字母无关紧要, 重要的是其取值的范围), 其值从1到n; aka_kak为kkk的函数.

注意:

指标变量不是必须从1开始的, 它可以从小于等于n的任何一个整数m开始, 比如:
∑k=mnai=am+am−1+...+an\sum_{k=m}^n a_i = a_m + a_{m-1} + ... + a_n∑k=mnai=am+am−1+...+an
特别地, ∑k=nn=an\sum_{k=n}^n = a_n∑k=nn=an

了解和掌握求和符号的一般规律, 不仅可以使复杂问题的表述简单, 而且也有助于对相关算法的理解.

2. 求和符号运算的性质

定理1:
∑k=1nak=∑k=1mak+∑k=m+1nak.其中1<m<n\sum_{k=1}^na_k = \sum_{k=1}^ma_k + \sum_{k=m+1}^na_k . 其中1\lt m \lt nk=1∑nak=k=1∑mak+k=m+1∑nak.其中1<m<n
很明显, 这是加法结合律的必然结果. 相当于把n个数分成了两部分, 分别求和后再求和.

定理2:
∑k=1n(ak+bk)=∑k=1nak+∑k=1nbk\sum_{k=1}^n(a_k + b_k)=\sum_{k=1}^na_k + \sum_{k=1}^nb_kk=1∑n(ak+bk)=k=1∑nak+k=1∑nbk
证明: 由加法的交换律和结合律可知:
∑k=1n(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+...+(an+bn)\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=(a_1+b_1) + (a_2+b_2) + ... + (a_n+b_n)k=1∑n(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+...+(an+bn)
=(a1+a2+...+an)+(b1+b2+...+bn)\quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad =(a_1+a_2+...+a_n) + (b_1 + b_2+...+b_n)=(a1+a2+...+an)+(b1+b2+...+bn)
=∑k=1nak+∑k=1nbk= \sum_{k=1}^na_k + \sum_{k=1}^nb_k \quad \quad \quad\quad=k=1∑nak+k=1∑nbk
定理2可以进一步扩展到多项. 所以定理2表明, 我们可以把一个分解成多个, 当然也可以把多个求和符号合并为一个.
定理3:
∑k=1nrak=r∑k=1nak,其中的r为任意的常数.\sum_{k=1}^nra_k=r\sum_{k=1}^na_k, 其中的r为任意的常数.k=1∑nrak=rk=1∑nak,其中的r为任意的常数.
定理3说明求和符号里的常数可以提取到求和符号外面. 这一点是乘法分配律的结果.

3. 应用

例1 : 已知∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}∑i=1ni=2n(n+1), 试求∑i=1n(2i−1)\sum_{i=1}^n(2i-1)∑i=1n(2i−1)

解: ∑i=1n(2i−1)=2∑n=1ni−∑i=1n1\sum_{i=1}^n(2i-1)=2\sum_{n=1}^n i - \sum_{i=1}^n 1∑i=1n(2i−1)=2∑n=1ni−∑i=1n1
=n(n+1)−n\quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad=n(n+1)-n=n(n+1)−n
=n2\quad \quad\quad\quad\quad \quad\quad=n^2=n2

例2: 已知∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}∑i=1ni=2n(n+1), 试求∑i=1ni2\sum_{i=1}^n i^2∑i=1ni2.
解:由二项式定理得
(i+1)3=i3+3i2+3i+1(i+1)^3 = i^3 + 3i^2 + 3i + 1(i+1)3=i3+3i2+3i+1, 故有:

∑i=1n(i+1)3=∑i=1ni3+3∑i=1ni2+3∑i=1ni+∑i=1n1(1)\sum_{i=1}^n(i+1)^3=\sum_{i=1}^ni^3 + 3\sum_{i=1}^ni^2 +3\sum_{i=1}^ni + \sum_{i=1}^n 1 \quad (1)∑i=1n(i+1)3=∑i=1ni3+3∑i=1ni2+3∑i=1ni+∑i=1n1(1)
同时,
∑i=1n(i+1)3=23+33+...+n3+(n+1)3\sum_{i=1}^n(i+1)^3 = 2^3+3^3+... +n^3+(n+1)^3∑i=1n(i+1)3=23+33+...+n3+(n+1)3
∑i=1ni3=13+23+33+...+n3\sum_{i=1}^ni^3 = 1^3+2^3+3^3+... +n^3∑i=1ni3=13+23+33+...+n3
所以得:
∑i=1n(i+1)3−∑i=1ni3=(n+1)3−1(2)\sum_{i=1}^n(i+1)^3-\sum_{i=1}^ni^3 =(n+1)^3-1\quad (2)i=1∑n(i+1)3−i=1∑ni3=(n+1)3−1(2)
将(2)式带入(1)得:
3∑i=1ni2+3∑i=1ni+∑i=1n1=(n+1)3−13\sum_{i=1}^ni^2 + 3\sum_{i=1}^ni +\sum_{i=1}^n1=(n+1)^3 -13i=1∑ni2+3i=1∑ni+i=1∑n1=(n+1)3−1
再将已知条件带入, 最后得:
∑i=1ni2=16n(n+1)(2n+1)\sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)i=1∑ni2=61n(n+1)(2n+1)

一般说来, ∑i=1naibi≠∑i=1nai.∑i=1nbi\sum_{i=1}^na_ib_i \ne \sum_{i=1}^na_i.\sum_{i=1}^nb_i∑i=1naibi=∑i=1nai.∑i=1nbi. 因为∑i=1naibi\sum_{i=1}^na_ib_i∑i=1naibi描述的是n项之和; 而∑i=1nai.∑i=1nbi\sum_{i=1}^na_i . \sum_{i=1}^nbi∑i=1nai.∑i=1nbi描述的是n2n^2n2项之和, 而且这些项包含了∑i=1naibi\sum_{i=1}^na_ib_i∑i=1naibi的所有项.

4. 双重求和

对于一个m×nm\times nm×n矩阵来说, 一般表示如下:
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞

那么如果要求矩阵A的所有元素之和, 可以简略记为∑i=1m∑j=1naij\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}∑i=1m∑j=1naij, 注意符号∑i=1m∑j=1n\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n∑i=1m∑j=1n 是一个整体, 称为双重求和符号.

矩阵A所有元素之和有两种方法: 一种是先求各行的元素之和, 再将各行的和累加; 另一种方法是先求各列的和, 再将各列的和累加.
(1) 先按行求和, 有
∑j=1na1j+∑j=1na2j+...+∑j=1namj=∑i=1m(∑j=1naij)\sum_{j=1}^na_{1j}+\sum_{j=1}^na_{2j}+...+\sum_{j=1}^na_{mj}=\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij}) j=1∑na1j+j=1∑na2j+...+j=1∑namj=i=1∑m(j=1∑naij)
(2) 先按列求和, 有
∑i=1mai1+∑i=1mai2+...+∑i=1main=∑j=1n(∑i=1maij)\sum_{i=1}^ma_{i1}+\sum_{i=1}^ma_{i2}+...+\sum_{i=1}^ma_{in}=\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij}) i=1∑mai1+i=1∑mai2+...+i=1∑main=j=1∑n(i=1∑maij)
由于∑i=1m∑j=1naij,∑i=1m(∑j=1naij)\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij}, \sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})∑i=1m∑j=1naij,∑i=1m(∑j=1naij)和∑j=1n(∑i=1maij)\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij})∑j=1n(∑i=1maij)都表示的是同一个矩阵中所有元素之和, 所以三者是相等的.
定理4:
∑i=1m∑j=1naij=∑i=1m(∑j=1naij)=∑j=1n(∑i=1maij)\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^na_{ij} =\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^na_{ij})=\sum_{j=1}^n(\sum_{i=1}^ma_{ij}) i=1∑mj=1∑naij=i=1∑m(j=1∑naij)=j=1∑n(i=1∑maij)
这表明，双重求和可以化成对i和j的累次求和来进行，并且与求和的顺序无关。即，我们即可以先对i求和也可以先对j求和。

例3: 设aij=i+ja_{ij}=i+jaij=i+j, 试求∑j=1m∑i=1naij\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}∑j=1m∑i=1naij
解:
∑j=1m∑i=1naij=∑j=1m∑i=1n(i+j)\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n(i+j) j=1∑mi=1∑naij=j=1∑mi=1∑n(i+j)
=∑j=1m(∑i=1n(i+j))\quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^n(i+j)) =j=1∑m(i=1∑n(i+j))
=∑j=1m(∑i=1ni+nj)\quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^ni+nj) =j=1∑m(i=1∑ni+nj)
=∑j=1m(∑i=1ni)+n∑j=1mj\quad\quad\quad\quad\quad=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^ni)+n\sum_{j=1}^mj =j=1∑m(i=1∑ni)+nj=1∑mj
=m∑i=1ni+n∑j=1mj\quad\quad\quad\quad\quad=m\sum_{i=1}^ni+n\sum_{j=1}^mj =mi=1∑ni+nj=1∑mj
=mn(n+1)2+nm(m+1)2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=m\frac{n(n+1)}{2} + n\frac{m(m+1)}{2} =m2n(n+1)+n2m(m+1)
=12mn(m+n+2)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{2}mn(m+n+2) =21mn(m+n+2)
例4: 求 ∑j=1m∑i=1nij\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n ij∑j=1m∑i=1nij

解: ∑j=1m∑i=1nij=∑j=1m(∑i=1nij)\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n ij=\sum_{j=1}^m(\sum_{i=1}^n ij)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quadj=1∑mi=1∑nij=j=1∑m(i=1∑nij)
=∑j=1m(j∑i=1ni)=\sum_{j=1}^m(j\sum_{i=1}^n i)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=j=1∑m(ji=1∑ni)
=∑j=1m(jn(n+1)2)=\sum_{j=1}^m(j\frac{n(n+1)}{2})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=j=1∑m(j2n(n+1))
=n(n+1)2∑j=1mj=\frac{n(n+1)}{2}\sum_{j=1}^mj\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=2n(n+1)j=1∑mj
=n(n+1)2m(m+1)2=\frac{n(n+1)}{2}\frac{m(m+1)}{2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=2n(n+1)2m(m+1)
=14mn(m+1)(n+1)=\frac{1}{4}mn(m+1)(n+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=41mn(m+1)(n+1)