时间序列预测问题

线性回归方法
- 什么是线性回归方法
- - 滞后影响
  - 多元线性回归
- 怎么用线性回归方法
- 为什么要使用线性回归方法

从kanggle看到的一个教程（原文），主要讲解了如何进行时间序列预测，本文采用该教程部分内容外加一些个人理解。时间允许的情况下最好去看下原文。
kaggle上还有很多其他的教程，初学者看一下挺好的。最近浏览了一遍，整体感觉语言比较凝练，却又通俗易懂，是不错的教程。每节还附带有练习，除了有时候网速问题，其它的都挺完美。

滞后和时间步长是时间序列特有的特征，滞后表示当前状态对后续状态的影响，（时间序列问题假数据设存在滞后影响，因为只有这样才能进行预测，这点不同于散点数据），时间步长是是指前后两个时间点之间的差值。

线性回归方法

什么是线性回归方法

大家学过函数，牛顿时代的给出的函数传统定义是：因变量根据自变量变动而变动的规律。很自然的认为时间序列自变量就是时间，因变量就是各种观测数据，虽然实际上并不止如此，但不妨以此为切入点。

如果我们像伽利略、开普勒等大师一样观察到了足够多的天体运行数据，那么数据背后的规律，也就是天体运行规律是不是也就慢慢的能找到了？找到规律是不是就能进行预测了？因此，回归方法就是找到一个能够很好的拟合现有数据的函数。

为了找到完美的拟合函数，我们从最简单的情况出发，由简入繁慢慢的改进直到能够完美的拟合。

最简单的情况就是用一个直线拟合数据，也就是直线公式
y=w∗x+b（1）y = w*x+b （1）y=w∗x+b（1）
其中y代表观测值，x代表时间，w代表权重（weight)，b表示截距（这个截距通常只起到一个上下偏移的作用）。

由于无法获得伽利略等大师的数据，此处引用Kaggle给出的硬皮书销售数量的例子。数据如下，Date表示时间，Hardcover就是硬皮书的销售量。

	Hardcover
Date
2000-04-01	139
2000-04-02	128
2000-04-03	172
2000-04-04	139
2000-04-05	191

你会发现时间这个格式无法带入到公式（1）里进行计算啊，为了解决这个问题，我们可以给虚拟变量（time dummy），也就是给时间编个号。

	Hardcover	Time
Date
2000-04-01	139	0
2000-04-02	128	1
2000-04-03	172	2
2000-04-04	139	3
2000-04-05	191	4

好了，现在x就是Time列，y就是Hardcover列，那么公式里的w和b怎么确定呢？这个问题有点难，不妨先思考如果给出w，b的两个可能的值，例如（w=1，b=5）和（w=2，b=3），那么怎么评价这两个直线的好坏呢？这就是说给有序对（w,b)一个度量，也就是给出一个值来表示整体拟合度，说人话就是给每个(w,b)打一个分，看分数决定那个好。

【假装有图，回头补上】。

我们用y^\hat{y}y^表示预测值，那么$|\hat{y_1}-y_1| 表示单个值预测的偏差，因此平均误差表示单个值预测的偏差，因此平均误差表示单个值预测的偏差，因此平均误差\frac{|\hat{y_1}-y_1| + \dots + |\hat{y_n}-y_n| }{n}$ 的值越大说明越差，即分数越低越好，于是我们有了
（w=1，b=5）和（w=2，b=3）的分数分别为（假装有数）。给这个方法起个名字叫平均绝对误差。同样的，（y1^−y1）2n\frac{（\hat{y_1}-y_1）^2 }{n}n（y1^−y1）2 也是如此，这个方法名字叫均方误差。

那么原来的问题就变成了如何寻找最小的均方误差的直线。有个叫最小二乘法（ordinary least squares）的方法可以解决这个问题。这是另外一个故事了，知道这个方法可以就行了，不是本文重点。计算完成后，结果如下图所示，（你会发现图上有时间编号到了30，原因是上边数据只节选了几个意思一下而已）

滞后影响

更进一步，如果像下表Lag_1列一样，把因变量滞后一个时间步长，然后把Lag_1作为因变量，是不是就能表示滞后影响，也就是今天的销量对明天销量的影响。

	Hardcover	Lag_1
Date
2000-04-01	139	NaN
2000-04-02	128	139.0
2000-04-03	172	128.0
2000-04-04	139	172.0
2000-04-05	191	139.0

同样，采用最小二乘法计算得到结果如下图所示。

多元线性回归

上述分别说明了时间的影响和滞后影响，那么能不能同时考虑两者同时的影响，这样预测的值是不是更加准确呢？
y=w1∗x1+w2∗x2+b（2）y = w_1*x_1+w_2*x_2+b （2）y=w1∗x1+w2∗x2+b（2）
公式（2）表示了两个影响因素下的一般公式。

怎么用线性回归方法

这里主要介绍python中的计算方法。简单来说就是调包，具体如下。

from sklearn.linear_model import LinearRegression# Training data
#X = df.loc[:, ['Time']] # features
X = df.loc[:, ['Time']].values.reshape(-1,1)  # features, 高版本要加reshape
y = df.loc[:, 'NumVehicles']  # target# Train the model
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)# Store the fitted values as a time series with the same time index as
# the training data
y_pred = pd.Series(model.predict(X), index=X.index)

为什么要使用线性回归方法

直接用于预测
如果线性回归能够很好的拟合数据，多加一个时间变量就可以得到预测值。
这是拟合在预测中的作用。
用于初步分析各影响因素的影响力

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